Determine a matriz do operador derivada D: Pn[t](R) Pn[t](R) relativamente à base canônica C=1, t, ldots, t^n.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de representação do operador linear
D:Pn[t](R)toPn[t](R), Dl(p(t)r)=p'(t)
na base canônica
C=1,t,t^2,dots,t^n.
Para isso precisamos aplicar D a cada vetor da base e expressar o resultado em coordenadas na mesma base.

Passo 2

Calculamos D em cada elemento da base. Usando a regra da derivada de potências:
D(1)=0, D(t^k)=k,t^k-1(k=1,2,dots,n)

Passo 3

Para encontrar a matriz, colocamos em cada coluna as coordenadas de D do vetor-base correspondente. Indexando as linhas/colunas de 1 a n+1 associadas a 1,t,dots,t^n, temos:
  • Coluna 1 (correspondente a 1): D(1)=0 gera a coluna nula.
  • Coluna j+1 (correspondente a t^j, j>=1): D(t^j)=j,t^j-1 que em coordenadas é zero em todas as componentes, exceto na linha j (que corresponde a t^j-1), onde o valor é j.

Passo 4

Assim a matriz M de D na base C é (n+1)times(n+1) e só tem entradas não-nulas na posição (i,i+1) para i=1,dots,n, iguais a i. Em outras palavras,
Mi,j = j-1, &se i=j-1, 0, &caso contrário á
Em forma explícita:
M = 0 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0 0 & 0 & 2 & cdots & 0 & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & n 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0

Resposta

M = 0 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0 0 & 0 & 2 & cdots & 0 & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & n 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0

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