Mostre que as seguintes transformações lineares são sobrejetivas.
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Passo 1
O enunciado define a aplicação linear
por
por
O conteúdo é transformações lineares em espaços vetoriais e queremos mostrar que
é sobrejetiva, isto é, sua imagem é todo
.
Passo 2
Por definição,
é sobrejetiva se, dado qualquer
, existe algum polinômio
tal que
ou seja,
Passo 3
Considere o polinômio constante
Ele pertence a
pois seu grau é
. Além disso,
Passo 4
Como para qualquer
encontramos um polinômio
tal que
, concluímos que a aplicação
é sobrejetiva.
Resposta
A transformação
é sobrejetiva.