Mostre que as seguintes transformações lineares são sobrejetivas.
B: Pn[x](R) R, B(p(x))=p(1);

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
,B:Pn[x](R)toR
por
Bl(p(x)r)=p(1)
O conteúdo é transformações lineares em espaços vetoriais e queremos mostrar que B é sobrejetiva, isto é, sua imagem é todo R.

Passo 2

Por definição, B é sobrejetiva se, dado qualquer yinR, existe algum polinômio p(x)inPn[x](R) tal que
Bl(p(x)r)=y,
ou seja,
p(1)=y

Passo 3

Considere o polinômio constante
p(x)=y
Ele pertence a Pn[x](R) pois seu grau é 0<= n. Além disso,
p(1)=y

Passo 4

Como para qualquer yinR encontramos um polinômio p(x)=y tal que B(p)=y, concluímos que a aplicação B é sobrejetiva.

Resposta

A transformação B é sobrejetiva.

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