Verifique se as funções abaixo são contínuas em

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = raiz-x+4, & x <= 0, dfracsin(x)x + x, & x > 0,
e pede para verificar se f é contínua em x=0. Para isso vamos calcular os limites laterais em 0 e comparar com o valor f(0). O conteúdo usado é o conceito de continuidade via limites laterais.

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda. Como a função raiz-x+4 é contínua em todo o seu domínio, basta substituir x=0:
limxto0^-f(x) = limxto0^-raiz-x+4 = raiz-0+4 = raiz4 = 2

Passo 3

Calcular o limite pela direita. Usamos o limite clássico limxto0sin(x)x=1 e a continuidade da função xmapsto x:
limxto0^+f(x) = limxto0^+l(sin(x)x + xr) = underbracelimxto0^+sin(x)x1 + underbracelimxto0^+x0 = 1 + 0 = 1

Passo 4

Determinar o valor de f em 0. Como 0 cai no caso x<=0, temos
f(0) = raiz-0+4 = 2

Passo 5

Comparando os resultados:
limxto0^-f(x)=2, limxto0^+f(x)=1, f(0)=2
Como limxto0^-f(x)neq limxto0^+f(x), o limite limxto0f(x) não existe e, portanto, f não é contínua em x=0.

Resposta

A função f não é contínua em x=0.

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