Usando integrais, encontre o volume do tetraedro com vértices (0,0,0),(1,1,0),(0,1,0) e (0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro com vértices (0,0,0), (1,1,0), (0,1,0) e (0,0,1). Vamos usar o método das integrais triplas:
o volume é
V = integral triplaD dV,
onde D é a região ocupada pelo tetraedro. Para montar a integral, projetamos D no plano xy e encontramos o limite superior em z.

Passo 2

Encontramos a equação do plano que contém os pontos (1,1,0), (0,1,0) e (0,0,1). Procuramos uma forma ax+by+cz=d.
Substituindo (0,0,1) obtém-se c=d.
Substituindo (0,1,0) b=d.
Substituindo (1,1,0) a+b=d.
Logo b=c e a=0, e dividindo por c resulta
y + z = 1
ou seja
z = 1 - y

Passo 3

A projeção de D no plano z=0 é o triângulo com vértices (0,0), (1,1) e (0,1), que em coordenadas é
(x,y)mid 0 <= x <= y <= 1
Para cada (x,y) nesse triângulo, z varia de 0 até 1-y. Portanto
V = integraly=0^1 integralx=0^y integralz=0^1-y dz,dx,dy

Passo 4

Calculamos a integral por ordem z, depois x e por fim y:
integralz=0^1-y dz = 1 - y,
integralx=0^y (1 - y),dx = y,(1 - y),
integraly=0^1 y,(1 - y),dy = integral0^1 (y - y^2),dy = l[tfracy^22 - tfracy^33r]0^1 = tfrac12 - tfrac13 = tfrac16

Resposta

O volume do tetraedro é tfrac16.

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