Usando integrais, encontre o volume do tetraedro com vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do tetraedro com vértices
,
,
e
. Vamos usar o método das integrais triplas:
o volume é
o volume é
onde
é a região ocupada pelo tetraedro. Para montar a integral, projetamos
no plano
e encontramos o limite superior em
.
Passo 2
Encontramos a equação do plano que contém os pontos
,
e
. Procuramos uma forma
.
Substituindo obtém-se
.
Substituindo dá
.
Substituindo dá
.
Logo e
, e dividindo por
resulta
Substituindo
Substituindo
Substituindo
Logo
ou seja
Passo 3
A projeção de
no plano
é o triângulo com vértices
,
e
, que em coordenadas é
Para cada
nesse triângulo,
varia de
até
. Portanto
Passo 4
Calculamos a integral por ordem
, depois
e por fim
:
Resposta
O volume do tetraedro é
.