Ache duas representações em coordenadas polares, uma com r>0 e a outra com r<0, para os pontos com as coordenadas retangulares dadas.
(-1, raiz3)

Passo 1

O enunciado dá o ponto em coordenadas retangulares (-1,raiz3) e pede duas representações em coordenadas polares: uma com r>0 e outra com r<0. Vamos usar as fórmulas de conversão
x = rcostheta, y = rsintheta
e lembrar que r = raizx^2+y^2 e theta deve ser ajustado ao quadrante certo.

Passo 2

Calculamos o módulo r do vetor:
r = raiz(-1)^2 + (raiz3)^2 = raiz1 + 3 = 2

Passo 3

Para achar o ângulo theta usamos
tantheta = yx = raiz3-1 = -raiz3
Como x<0 e y>0, o ponto está no segundo quadrante e o ângulo de referência é pi/3. Portanto
theta = pi - pi3 = 2pi3

Passo 4

Assim, uma representação com r>0 é
(r,theta) = l(2,tfrac2pi3r)

Passo 5

Para a segunda representação escolhemos r<0. Basta tomar r=-2 e deslocar theta em pi radianos (ou em -pi). Usando theta' = tfrac2pi3-pi = -tfracpi3 temos
x = (-2)cosl(-tfracpi3r) = -2cdottfrac12 = -1, y = (-2)sinl(-tfracpi3r) = -2cdotl(-tfracraiz32r)=raiz3,
o que coincide com o ponto dado.

Resposta

Uma com r>0: l(2,tfrac2pi3r).
Outra com r<0: l(-2,-tfracpi3r).

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