Calcule a derivada segunda
y=2^x^2+3^2 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada segunda de
y = 2^x^2 + 3^2x
O conteúdo envolvido é a derivação de funções exponenciais de base fixa e aplicação da regra da cadeia (e, no caso do termo linear em x, também da regra do produto, quando necessário).

Passo 2

Vamos achar primeiro y'.
Para 2^x^2, usamos
ddxl(a^u(x)r) = a^u(x)ln(a),u'(x)
Aqui a=2 e u(x)=x^2, logo u'(x)=2x.
ddx2^x^2 = 2^x^2ln(2)cdot 2x = 2xln(2),2^x^2
Para 3^2x, agora a=3 e v(x)=2x, com v'(x)=2.
ddx3^2x = 3^2xln(3)cdot 2 = 2ln(3),3^2x
Portanto,
y' = 2xln(2),2^x^2 ;+; 2ln(3),3^2x

Passo 3

Podemos reescrever
y' = 2^x^2l(2xln(2)r) + 3^2xl(2ln(3)r)
Essa forma deixa claro que cada termo é um produto de uma função exponencial por um fator que depende de x.

Passo 4

Agora calculamos y'' derivando termo a termo.
  1. Para 2xln(2),2^x^2 aplicamos regra do produto entre 2xln(2) e 2^x^2:
    Derivada de 2xln(2) é 2ln(2).
    Derivada de 2^x^2 já fizemos no passo 2: 2^x^2ln(2)cdot 2x.
    Assim,
    ddxl(2xln(2)cdot 2^x^2r) = 2ln(2),2^x^2 ;+; 2xln(2),l(2^x^2ln(2)cdot2xr)
    Simplificando,
    = 2^x^2,2ln(2) ;+; 2^x^2,2xln(2)cdot2xln(2) = 2^x^2l(2ln(2) + 4x^2[ln(2)]^2r)
  2. Para 2ln(3),3^2x é produto de constante por exponencial. A derivada de 3^2x é 3^2xln(3)cdot2. Logo,
    ddxl(2ln(3),3^2xr) = 2ln(3),l(3^2xln(3)cdot2r) = 4[ln(3)]^2,3^2x

Passo 5

Juntando os resultados dos dois termos, obtemos
y'' = 2^x^2l(2ln(2) + 4x^2[ln(2)]^2r) ;+; 4[ln(3)]^2,3^2x

Resposta

y'' = 2^x^2l(2ln(2) + 4x^2[ln(2)]^2r) + 4[ln(3)]^2,3^2x

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