Ache duas retas passando por (1,-1) que faz um ângulo de 45^circ com 3 x-4 y=7.

Passo 1

O enunciado pede duas retas que passam por (1,-1) e formam um ângulo de 45^circ com a reta
3x - 4y = 7
Como o conteúdo é ângulo entre retas, vamos usar a fórmula que, dada a inclinação m1 da reta base e m2 da reta procurada, satisfaz
tantheta ;=;l|m2 - m11 + m1 m2r|

Passo 2

Encontramos a inclinação m1 da reta 3x - 4y = 7 isolando y:
3x - 4y = 7 Longrightarrow 4y = 3x - 7 Longrightarrow y = tfrac34x - tfrac74
Logo,
m1 = tfrac34

Passo 3

Queremos theta = 45^circ, então tan45^circ = 1. Aplicando
l|m2 - m11 + m1 m2r| = 1 Longrightarrow m2 - tfrac341 + tfrac34m2 = pm 1
Caso “ +1”:
m2 - tfrac34 = 1 + tfrac34m2 ;Longrightarrow; m2 - tfrac34m2 = 1 + tfrac34 ;Longrightarrow; tfrac14m2 = tfrac74 ;Longrightarrow; m2 = 7
Caso “ -1”:
m2 - tfrac34 = -1 - tfrac34m2 ;Longrightarrow; m2 + tfrac34m2 = tfrac34 - 1 ;Longrightarrow; tfrac74m2 = -tfrac14 ;Longrightarrow; m2 = -tfrac17

Passo 4

Agora usamos a forma ponto-inclinação para cada m2, passando por (1,-1).
Para m2 = 7:
y - (-1) = 7,(x - 1) Longrightarrow y + 1 = 7x - 7 Longrightarrow y = 7x - 8
Para m2 = -tfrac17:
y + 1 = -tfrac17(x - 1) Longrightarrow y + 1 = -tfrac17x + tfrac17 Longrightarrow y = -tfrac17x - tfrac67

Resposta

As duas retas são
boxedy = 7x - 8 e boxedy = -tfrac17x - tfrac67

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