Responda todas as questões a seguir, apresentando os cálculos e justificativas necessárias.
Considere a matriz At=[ccc1 & t & 0 0 & 1 & t t & 0 & 1], t in R.
(a) Use o escalonamento para determinar os valores de t in R para os quais o sistema
At[l x y z ]=[l 3 2 1 ]
tem
  • (1.0 pontos) infinitas soluções.
    (0.5 pontos) Para o caso de solução única, forneça a solução explícita.

Passo 1

O enunciado dá a matriz parametrizada
e pede para resolver o sistema
usando escalonamento. O conteúdo é sistemas lineares e método de eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada e triangularizar.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e aplicamos operações para ir a forma triangular:
[ccc|c 1 & t & 0 & 3 0 & 1 & t & 2 t & 0 & 1 & 1 ]
1. R3 R3 - t,R1 gera
[ccc|c 1 & t & 0 & 3 0 & 1 & t & 2 0 & -t^2 & 1 & 1-3t ]
2. R3 R3 + t^2,R2
[ccc|c 1 & t & 0 & 3 0 & 1 & t & 2 0 & 0 & 1+t^3 & 1 -3t + 2t^2 ]
As equações são
x + t,y = 3, y + t,z = 2, (1+t^3),z = 1 -3t +2t^2

Passo 3

Para ter infinitas soluções, a equação de z deve ficar 0cdot z = 0, ou seja
1 + t^3 = 0 e 1 -3t +2t^2 = 0
A única raiz real de 1+t^3=0 é t=-1, mas em t=-1 temos
1 -3(-1) +2(-1)^2 = 1 +3 +2 = 6 neq 0,
logo o sistema fica 0cdot z = 6, inconsistente. Portanto não existe tinR que gere infinitas soluções.

Passo 4

Para 1+t^3neq 0 (ou seja tneq -1) o sistema é triangular e admite solução única. Da terceira equação
z = 1 -3t +2t^21 + t^3
Da segunda segue
y = 2 - t,z = 2 - t ,1 -3t +2t^21 + t^3 = 3t^2 - t +2t^3 +1
E da primeira
x = 3 - t,y = 3 - t ,3t^2 - t +2t^3 +1 = t^2 -2t +3t^3 +1

Resposta

(a) Não há valor real de t que torne o sistema com infinitas soluções.
(b) Para tneq -1 a solução única é
x = t^2 -2t +3t^3 +1, y = 3t^2 - t +2t^3 +1, z = 2t^2 -3t +1t^3 +1

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