Ache os elementos principais das parábolas
y=14 x^2+x+2;

Passo 1

O enunciado nos dá a parábola
y = tfrac14 x^2 + x + 2
e pede os seus elementos principais: vértice, foco, diretriz, eixo de simetria e concavidade. Para isso, vamos reescrever a equação no “forma vértice” completando o quadrado e então comparar com o padrão
(x-h)^2 = 4p,(y-k)

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x:
y = tfrac14l(x^2 + 4xr) + 2 = tfrac14l(x^2 + 4x + 4r) + 2 - tfrac14cdot 4 = tfrac14,(x+2)^2 + 2 - 1 = tfrac14,(x+2)^2 + 1

Passo 3

Isolando (x+2)^2 em função de y, temos
(x+2)^2 = 4,(y-1)
Comparando com (x-h)^2 = 4p,(y-k), vemos que
h = -2, k = 1, 4p = 4 implies p = 1
Logo, o vértice é (h,k) = (-2,1) e a parábola abre para cima pois p>0.

Passo 4

O foco está a distância p acima do vértice (já que a parábola abre para cima):
foco = l(h,;k+pr) = (-2,;1+1) = (-2,2)
A diretriz é a reta horizontal a distância p abaixo do vértice:
diretriz: y = k - p = 1 - 1 = 0

Passo 5

O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice, isto é
eixo: x = h = -2
Resumindo a concavidade, como a=tfrac14>0, a parábola abre para cima.

Resposta

vértice: (-2,1)
foco: (-2,2)
diretriz: y=0
eixo de simetria: x=-2
concavidade: para cima

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