Ache os elementos principais das parábolas
y=4 x^2-8 x+7.

Passo 1

O enunciado pede os elementos principais da parábola y=4x^2-8x+7: vértice, eixo de simetria, concavidade, foco e diretriz. Para isso, vamos completar o quadrado para obter a forma canônica e usar o fato de que a forma
(x-h)^2 = 4p,(y-k)
tem vértice (h,k), foco em (h,k+p) e diretriz y = k - p.

Passo 2

Completar o quadrado em x:
y = 4x^2 - 8x + 7 = 4l(x^2 - 2xr) + 7
= 4l[(x-1)^2 - 1r] + 7 = 4(x-1)^2 - 4 + 7
= 4(x-1)^2 + 3

Passo 3

Da forma y = 4(x-1)^2 + 3 identificamos:
Vértice (h,k) = (1,3).
Eixo de simetria: reta x = 1.
Como o coeficiente 4>0, a concavidade é voltada para cima.

Passo 4

Reescrevendo para comparar com a forma padrão:
(x-1)^2 = 14,(y-3)
Logo 4p = tfrac14, o que dá
p = 116

Passo 5

Foco:
(h,,k+p) = l(1,,3 + tfrac116r) = l(1,,tfrac4916r)
Diretriz:
y = k - p = 3 - tfrac116 = tfrac4716

Passo 6

Parâmetro focal (distância vértice–foco): lvert prvert = tfrac116.
Largura do latus rectum (focal): lvert 4prvert = tfrac14, com extremos em
l(1 pm tfrac18,,tfrac4916r).

Resposta

Vértice: (1,3)
Eixo de simetria: x = 1
Concavidade: para cima
Foco: l(1,tfrac4916r)
Diretriz: y = tfrac4716
Parâmetro focal: p = tfrac116
Largura do latus rectum: tfrac14

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