Ache a equação da circunferência de centro no primeiro quadrante, tangente aos eixos coordenados e à reta 4 x-3 y-30=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma circunferência cujo centro está no primeiro quadrante e que é tangente aos eixos coordenados e à reta
4x - 3y - 30 = 0
O conteúdo é geometria analítica de circunferência e usaremos:
  1. A condição de tangência aos eixos (distância do centro aos eixos igual ao raio).
  2. A fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Seja a circunferência de centro (h,k) e raio r.
Tangente ao eixo x implica que a distância de (h,k) ao eixo x (reta y=0) seja r, ou seja lvert k-0rvert = r. Como o centro está no primeiro quadrante, k>0, logo
k = r
De modo análogo, a tangência ao eixo y (reta x=0) implica
h = r

Passo 3

Para que a circunferência seja tangente à reta
4x - 3y - 30 = 0
precisamos que a distância do ponto (h,k) a essa reta seja igual a r. A fórmula da distância é
l|4h - 3k - 30r|raiz4^2 + (-3)^2 = r
Como h = r e k = r, substituímos:
l|4r - 3r - 30r|5 = r Longrightarrow lvert r - 30rvert5 = r

Passo 4

Resolvendo lvert r - 30rvert = 5r, temos dois casos:
  1. Se r - 30 >= 0, então r - 30 = 5r leva a r = -7,5, impossibilidade pois r>0.
  2. Se r - 30 < 0, então 30 - r = 5r leva a
30 = 6r Longrightarrow r = 5

Passo 5

Encontramos r = 5 e, como h = r e k = r, o centro é (5,5). A equação da circunferência fica
(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 5^2 = 25

Resposta

(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25

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