Ache a equação da circunferência de centro no primeiro quadrante, tangente aos eixos coordenados e à reta .
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma circunferência cujo centro está no primeiro quadrante e que é tangente aos eixos coordenados e à reta
O conteúdo é geometria analítica de circunferência e usaremos:
A condição de tangência aos eixos (distância do centro aos eixos igual ao raio).
A fórmula da distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Seja a circunferência de centro e raio .
Tangente ao eixo implica que a distância de ao eixo (reta ) seja , ou seja . Como o centro está no primeiro quadrante, , logo
De modo análogo, a tangência ao eixo (reta ) implica
Passo 3
Para que a circunferência seja tangente à reta
precisamos que a distância do ponto a essa reta seja igual a . A fórmula da distância é
Como h = r e k = r, substituímos:
l|4r - 3r - 30r|5 = r Longrightarrow lvert r - 30rvert5 = r
Passo 4
Resolvendo lvert r - 30rvert = 5r, temos dois casos:
Se r - 30 >= 0, então r - 30 = 5r leva a r = -7,5, impossibilidade pois r>0.
Se r - 30 < 0, então 30 - r = 5r leva a
30 = 6r Longrightarrow r = 5
Passo 5
Encontramos r = 5 e, como h = r e k = r, o centro é (5,5). A equação da circunferência fica