Ache a equação da curva com eixo focal paralelo ao eixo OY, centro C(1,1), excentricidade e=0,5 e que passa pelo ponto P(1,2). Determine os vértices e esboce o gráfico da curva encontrada.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma cônica do tipo elipse com eixo focal paralelo a OY, centro em (1,1), excentricidade e=0,5 e que passa pelo ponto P(1,2). Vamos usar a forma padrão da elipse com eixo maior vertical
(x-h)^2b^2 + (y-k)^2a^2 = 1
onde (h,k)=(1,1), a é o semi-eixo maior (vertical), b o semi-eixo menor (horizontal) e e=tfracca com c^2 = a^2 - b^2.

Passo 2

Da excentricidade temos
c = e,a = 0,5,a
Logo
c^2 = (0,5,a)^2 = 0,25,a^2 e b^2 = a^2 - c^2 = a^2 - 0,25,a^2 = 0,75,a^2

Passo 3

Como a elipse passa por P(1,2), basta substituir x=1 e y=2 na equação
(1-1)^2b^2 + (2-1)^2a^2 = 1 ;Longrightarrow; 0 + 1^2a^2 = 1 ;Longrightarrow;a^2 = 1 ;Longrightarrow;a = 1

Passo 4

Com a=1 obtemos
c = 0,5cdot1 = 0,5, b^2 = 0,75cdot1 = tfrac34,
portanto a equação da elipse é
(x-1)^2tfrac34 + (y-1)^21 = 1 ou 4,(x-1)^23 + (y-1)^2 = 1

Passo 5

Os vértices principais (eixo vertical) são
(1,;1pm a) = (1,2);e;(1,0),
e os vértices secundários (eixo horizontal) são
(1pm b,;1) = l(1pmtfracraiz32,;1r)

Resposta

Equação:
(x-1)^2tfrac34 + (y-1)^21 = 1
Vértices principais: (1,2) e (1,0).
Vértices secundários: l(1+tfracraiz32,1r) e l(1-tfracraiz32,1r).
Esboço: elipse centrada em (1,1) mais alta do que larga, com eixo maior vertical de comprimento 2a=2 e menor horizontal de comprimento 2b=raiz3.

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