O ponto M(3,-1) é a extremidade do menor eixo de uma elipse cujos focos se acham sobre a reta y+6=0. Ache a equação da elipse sabendo que e=raiz22.

Passo 1

O enunciado dá uma elipse com foci sobre a reta y+6=0, o ponto M(3,-1) é extremidade do menor eixo, e a excentricidade é e=tfracraiz22. Para resolver vamos usar a geometria da elipse: centro, semieixos a (maior) e b (menor), distância focal c e a relação
e=ca, b^2=a^2-c^2

Passo 2

Como os focos estão em y=-6, o centro da elipse tem coordenada yc=-6. E o menor eixo é vertical, então suas extremidades têm x-coordenação igual à do centro; como M é extremidade menor, xc=3. Logo o centro é
C=(3,,-6)

Passo 3

O semieixo menor b é a distância de C a M:
b = llvert -1 -(-6)rrvert = 5

Passo 4

Da excentricidade e=c/a=tfracraiz22 vem
c = raiz22,a Longrightarrow a = ce = craiz2
E usando b^2=a^2-c^2:
5^2 = (craiz2)^2 - c^2 ;Longrightarrow; 25 = 2c^2 - c^2 ;Longrightarrow; c^2 = 25 ;Longrightarrow; c = 5,
então a = 5raiz2.

Passo 5

A equação da elipse centrada em C=(3,-6) com eixo maior horizontal é
(x-3)^2a^2 + (y+6)^2b^2 = 1,
onde a^2=(5raiz2)^2=50 e b^2=25.

Resposta

(x-3)^250 ;+;(y+6)^225 ;=;1

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