O ponto C(-3,2) é o centro de uma elipse tangente aos eixos coordenados. Ache a equação da elipse sabendo-se que seus eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado dá o centro da elipse em C(-3,2), diz que seus eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados e que a elipse é tangente aos eixos x e y. O conteúdo aqui é usar a forma canônica da elipse com centro (h,k) e encontrar os semi-eixos a e b pela condição de tangência a retas.

Passo 2

A equação canônica de uma elipse com centro em (h,k) e semi-eixos a (horizontal) e b (vertical) é
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1
Aqui temos h=-3 e k=2.

Passo 3

Como a elipse é tangente ao eixo x (reta y=0), a distância vertical do centro até essa reta vale b. Logo
b = l|k-0r| = l|2r| = 2

Passo 4

Como a elipse é tangente ao eixo y (reta x=0), a distância horizontal do centro até essa reta vale a. Logo
a = l|h-0r| = l|-3r| = 3

Passo 5

Substituindo h=-3, k=2, a=3 e b=2 na forma canônica, obtemos
(x+3)^23^2 + (y-2)^22^2 = 1

Resposta

(x+3)^29 + (y-2)^24 = 1

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