Sejam as retas y=2 x e y=-2 x
Identifique este lugar geométrico e encontre os seus elementos;

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas
r1: y = 2x e r2: y = -2x
e pede para identificar o lugar geométrico dos pontos que têm a mesma distância a r1 e a r2. O conteúdo que vamos usar é o conceito de lugar geométrico de pontos equidistantes de duas retas, que é dado pelas bissetrizes dos ângulos formados pelas retas.

Passo 2

Escrevemos cada reta em forma ax+by+c=0:
r1:;2x - y = 0, r2:;2x + y = 0

Passo 3

Para um ponto genérico (x,y), as distâncias a r1 e a r2 são
d1 = l|2x - yr|raiz2^2 +(-1)^2 e d2 = l|2x + yr|raiz2^2 +1^2
Igualamos d1=d2:
l|2x - yr|raiz5 = l|2x + yr|raiz5 ;Longrightarrow; l|2x - yr| = l|2x + yr|

Passo 4

A equação l|2x - yr| = l|2x + yr| gera dois casos:
1 2x - y = 2x + y\quad Rightarrow ;y=0.
2 2x - y = -(2x + y)\quad Rightarrow 2x - y = -2x - y Rightarrow 4x=0 Rightarrow x=0.

Passo 5

Portanto o lugar geométrico é a união das retas
y = 0 e x = 0,
que são exatamente as bissetrizes dos ângulos agudo e obtuso formados pelas retas r1 e r2.

Resposta

O lugar geométrico é a união das bissetrizes dos ângulos formados por y=2x e y=-2x, ou seja, as retas
x = 0 e y = 0

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