Ache a equação da circunferência onde um dos diâmetros é o segmento de extremos P_{1}=(-1 ; 3) e P_{2}=(7 ;-1).

Passo 1

O enunciado pede a equação da circunferência cujo diâmetro tem extremos em P_{1}=(-1,3) e P_{2}=(7,-1). O conteúdo aqui é geometria analítica de círculos: o centro é o ponto médio do diâmetro e o raio é metade da distância entre os extremos.

Passo 2

Para encontrar o centro C=(x_c,y_c), calculamos o ponto médio de P_{1} e P_{2}:
x_c = \frac{-1 + 7}{2} = 3, \quad y_c = \frac{3 + (-1)}{2} = 1.

Passo 3

O comprimento do diâmetro é a distância entre P_{1} e P_{2}. Usando a fórmula da distância,
d = \sqrt{(7 - (-1))^{2} + (-1 - 3)^{2}} = \sqrt{8^{2} + (-4)^{2}} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}.
Então o raio é
r = \frac{d}{2} = 2\sqrt{5}.

Passo 4

A forma canônica da equação de uma circunferência de centro C=(x_c,y_c) e raio r é
(x - x_c)^{2} + (y - y_c)^{2} = r^{2}.
Substituindo x_c=3, y_c=1 e r=2\sqrt{5}, obtemos
(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = \bigl(2\sqrt{5}\bigr)^{2} = 20.

Resposta

(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 20

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