Ache a equação da circunferência que tem raio 5 , centro na reta x=3 e é tangente à reta de equação 3 \mathrm{x}-4 \mathrm{y}+31=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma circunferência de raio 5, cujo centro C está sobre a reta x=3 e é tangente à reta
3x - 4y + 31 = 0.
Para resolver, vamos usar o fato de que a distância do centro C à reta tangente deve ser igual ao raio.

Passo 2

Como o centro está sobre x=3, podemos escrever C=(3,y_0) com y_0 a determinar. A distância de C à reta 3x - 4y +31=0 é dada por
\frac{\bigl|3\cdot 3 -4\,y_0 +31\bigr|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}.

Passo 3

Igualamos essa distância ao raio 5:
\frac{\bigl|9 -4y_0 +31\bigr|}{\sqrt{9 +16}} = 5 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\bigl|40 -4y_0\bigr|}{5} = 5 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|40 -4y_0\bigr| = 25.

Passo 4

Resolvendo \bigl|40 -4y_0\bigr|=25 temos as duas equações
40 -4y_0 = 25 \quad\Longrightarrow\quad y_0 = \frac{40 -25}{4} = \frac{15}{4},
40 -4y_0 = -25 \quad\Longrightarrow\quad y_0 = \frac{40 +25}{4} = \frac{65}{4}.

Passo 5

Para cada valor de y_0, a circunferência é
(x-3)^2 + \bigl(y - y_0\bigr)^2 = 5^2 = 25.

Resposta

As duas soluções são
(x-3)^2 + \Bigl(y - \tfrac{15}{4}\Bigr)^2 = 25 \quad\text{e}\quad (x-3)^2 + \Bigl(y - \tfrac{65}{4}\Bigr)^2 = 25.

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