Ache a equação da circunferência que passa pelos pontos \mathrm{A}(0 ; 6), \mathrm{B}(4 ;-2) e \mathrm{C}(9 ; 3). Encontre as coordenadas do centro e do raio.

Passo 1

O problema pede a circunferência que passa por A(0,6), B(4,-2) e C(9,3). Em geometria analítica, o centro dessa circunferência é a interseção das mediatrizes de dois segmentos formados por esses pontos, e o raio é a distância do centro a qualquer desses pontos.

Passo 2

Vamos achar a mediatriz de AB.
O ponto médio de AB é
M_{AB} = \bigl(\tfrac{0+4}{2},\,\tfrac{6+(-2)}{2}\bigr) = (2,2).
A inclinação de AB é
m_{AB} = \frac{-2 - 6}{4 - 0} = -2,
logo a mediatriz tem coeficiente angular m_1 = \tfrac{1}{2}. Sua equação é
y - 2 = \tfrac12\,(x - 2),
ou seja, em forma explícita,
y = \tfrac12\,x + 1.

Passo 3

Agora a mediatriz de AC.
O ponto médio de AC é
M_{AC} = \bigl(\tfrac{0+9}{2},\,\tfrac{6+3}{2}\bigr) = \bigl(\tfrac{9}{2},\tfrac{9}{2}\bigr).
A inclinação de AC é
m_{AC} = \frac{3 - 6}{9 - 0} = -\tfrac{1}{3},
logo a mediatriz tem coeficiente angular m_2 = 3. Sua equação é
y - \tfrac{9}{2} = 3\bigl(x - \tfrac{9}{2}\bigr),
que simplifica para
y = 3x - 9.

Passo 4

O centro (h,k)\) é o ponto de interseção das duas mediatrizes: \[\begin{cases} y = \tfrac12\,x + 1,\\\ y = 3x - 9. \end{cases}
Igualando
\tfrac12\,x + 1 = 3x - 9 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12\,x - 3x = -10 \quad\Longrightarrow\quad -\,\tfrac{5}{2}\,x = -10 \quad\Longrightarrow\quad x = 4.
Substituindo em y = 3x - 9\], vem \(y = 3\cdot4 - 9 = 3.
Logo o centro é
(h,k) = (4,3).

Passo 5

O raio r é a distância do centro a qualquer ponto dado. Usando A(0,6):
r = \sqrt{(4-0)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5.

Resposta

A equação da circunferência é
(x-4)^2 + (y-3)^2 = 25,
com centro (4,3) e raio 5.

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