Ache a equação da circunferência que passa pela origem, pelo ponto (4,8) e tem seu centro na reta y=3.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma circunferência que passa por (0,0) e por (4,8) e cujo centro está sobre a reta y=3. Estamos em Geometria Analítica, usando a fórmula geral da circunferência e o fato de que o centro satisfaz k=3.

Passo 2

Como o centro está em y=3, escrevemos o centro genérico como (h,3) e o raio como r. A equação geral é
(x - h)^2 + (y - 3)^2 = r^2.

Passo 3

Impondo que a circunferência passe pela origem (0,0), temos
(0 - h)^2 + (0 - 3)^2 = r^2 \quad\Longrightarrow\quad h^2 + 9 = r^2.

Passo 4

Impondo que ela também passe por (4,8), obtemos
(4 - h)^2 + (8 - 3)^2 = r^2 \quad\Longrightarrow\quad (4 - h)^2 + 25 = r^2.

Passo 5

Como ambos valem r^2, igualamos
h^2 + 9 = (4 - h)^2 + 25.
Desenvolvendo o lado direito: (4 - h)^2 = h^2 - 8h + 16, então
h^2 + 9 = h^2 - 8h + 16 + 25 \quad\Longrightarrow\quad 9 = -8h + 41 \quad\Longrightarrow\quad 8h = 32 \quad\Longrightarrow\quad h = 4.
Substituindo em r^2 = h^2 + 9, vem
r^2 = 4^2 + 9 = 16 + 9 = 25.

Resposta

(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25

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