Encontre a equação da circunferência. Encontre as coordenadas do centro e o raio. Faça um desenho da curva.
9 x^{2}+9 y^{2}-6 x-12 y-11=0

Passo 1

O enunciado dá a curva
9x^{2}+9y^{2}-6x-12y-11=0
e pede a equação na forma canônica de uma circunferência, mais centro, raio e um esboço. Vamos usar o método de completar quadrados.

Passo 2

Dividimos tudo por 9 para normalizar os coeficientes de x^2 e y^2:
x^2 + y^2 - \frac{6}{9}x - \frac{12}{9}y - \frac{11}{9} = 0
que é
x^2 + y^2 - \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}y = \frac{11}{9}.

Passo 3

Agrupamos termos de x e de y e completamos quadrados:
x^2 - \frac{2}{3}x + y^2 - \frac{4}{3}y = \frac{11}{9}.
Para x: adicionamos e subtraímos \bigl(\frac{1}{3}\bigr)^2=\frac{1}{9}.
Para y: adicionamos e subtraímos \bigl(\frac{2}{3}\bigr)^2=\frac{4}{9}.
Então
\Bigl(x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}\Bigr) + \Bigl(y^2 - \frac{4}{3}y + \frac{4}{9}\Bigr) - \frac{1}{9} - \frac{4}{9} = \frac{11}{9}.

Passo 4

Cada par forma um quadrado perfeito, ficando
(x - \tfrac{1}{3})^2 + (y - \tfrac{2}{3})^2 = \frac{11}{9} + \frac{5}{9} = \frac{16}{9}.
Logo a forma canônica é
(x - \tfrac{1}{3})^2 + (y - \tfrac{2}{3})^2 = \frac{16}{9}.
Dessa forma, o centro é
C\bigl(\tfrac{1}{3},\,\tfrac{2}{3}\bigr)
e o raio é
r = \sqrt{\tfrac{16}{9}} = \tfrac{4}{3}.

Passo 5

Esboço da circunferência (centro C e raio 4/3):
            y
            |
        *       *   
      *           *  
     *      C      *  
      *           *  
        *       *    
------------\(+\)--------------- x
            |

Resposta

Equação canônica:
(x - \tfrac{1}{3})^2 + (y - \tfrac{2}{3})^2 = \frac{16}{9}.
Centro: C\bigl(\tfrac{1}{3},\,\tfrac{2}{3}\bigr)
Raio: \tfrac{4}{3}

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