Ache a equação da circunferência que passa pelos pontos A(3,1) e B(-1,3) e cujo centro se acha sobre a reta 3 x-y-2=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação da circunferência que passa pelos pontos A(3,1) e B(-1,3) e cujo centro (h,k) está sobre a reta
3x - y - 2 = 0
O conteúdo envolvido é usar a forma geral da circunferência
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
e impor três condições:
  1. (h,k) satisfaz à reta dada.
  2. A distância do centro a A é r.
  3. A distância do centro a B é r.

Passo 2

Impondo que o centro (h,k) esteja na reta 3x - y - 2=0, temos
3h - k - 2 = 0
que dá
k = 3h - 2

Passo 3

Como A e B estão na circunferência, a distância do centro a cada um deve ser igual. Então
(3 - h)^2 + (1 - k)^2 = (-1 - h)^2 + (3 - k)^2
Expandindo cada lado:
(9 - 6h + h^2) + (1 - 2k + k^2) ;=; (1 + 2h + h^2) + (9 - 6k + k^2)
Simplificando surge
-6h - 2k + 10 = 2h - 6k + 10 ;;Longrightarrow;; -8h + 4k = 0 ;;Longrightarrow;; k = 2h
Juntando com k = 3h - 2, temos
2h = 3h - 2 ;;Longrightarrow;; h = 2,
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k = 2h = 4

Passo 4

O raio ao quadrado é a distância do centro (2,4) a A(3,1):
r^2 = (3 - 2)^2 + (1 - 4)^2 = 1 + 9 = 10

Resposta

A equação da circunferência é
(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 10

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