Ache a equação do diâmetro da circunferência x^2+y^2+4 x-6 y-17=0 perpendicular à reta 5 x+2 y-13=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação do diâmetro de uma circunferência que seja perpendicular a uma reta dada. Em geometria analítica, todo diâmetro é uma reta que passa pelo centro da circunferência. Logo, para resolver precisamos:
  1. Encontrar o centro da circunferência.
  2. Determinar a reta perpendicular à dada que passe por esse centro.

Passo 2

Começamos encontrando o centro da circunferência
x^2+y^2+4x-6y-17=0
Agrupando termos e completando quadrados:
x^2+4x + y^2-6y =17,
(x+2)^2-4 + (y-3)^2-9 =17,
(x+2)^2 + (y-3)^2 =17 +13 =30
Portanto, o centro é
C = (-2,,3)

Passo 3

A reta dada é
5x+2y-13=0
Isolando y:
2y = -5x +13 Longrightarrow y = -tfrac52x + tfrac132
Sua inclinação é m = -tfrac52. A inclinação de uma reta perpendicular é o negativo do recíproco, ou seja,
mperp = 25

Passo 4

Agora escrevemos a reta que passa por C(-2,3) com inclinação mperp=tfrac25. Em forma ponto-inclinação:
y - 3 = 25(x + 2)
Multiplicando ambos os lados por 5:
5y - 15 = 2x + 4 Longrightarrow 2x - 5y + 19 = 0

Resposta

A equação do diâmetro procurado é
2x - 5y + 19 = 0

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