Quais dos conjuntos abaixo são subespaços do espaço P(R) de todos os polinômios reais?
W=p(t) in P(R) ; p(0)=2 p(1);

Passo 1

O espaço ambiente é P(R), o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais. O subconjunto em questão é
W = lp(t)inP(R) mid p(0)=2,p(1)r
Para W ser subespaço precisamos verificar que Wneqemptyset, está fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que o polinômio nulo p(t)=0 satisfaz
p(0)=0=2cdot0=2,p(1),
logo 0in W e Wneqemptyset.

Passo 3

Sejam p,qin W. Então
(p+q)(0)=p(0)+q(0)=2,p(1)+2,q(1)=2l(p(1)+q(1)r)=2,(p+q)(1),
portanto p+qin W, ou seja, W é fechado sob soma.

Passo 4

Seja alphainR e pin W. Então
(alpha p)(0)=alpha,p(0)=alpha,(2,p(1))=2,(alpha,p(1))=2,(alpha p)(1),
logo alpha pin W, isto é, W é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

W é subespaço de P(R).

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