Mostre que são transformações lineares
T: V_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow V_{3}(\mathbb{R}), T\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)=\left(u_{2}, u_{3}, u_{1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação
T\colon V_{3}(\mathbb{R}) \to V_{3}(\mathbb{R}),\quad T(u_{1},u_{2},u_{3}) = (u_{2},u_{3},u_{1})
é uma transformação linear. Para isso, vamos usar as definições de aditividade e homogeneidade características de uma transformação linear.

Passo 2

Verificamos a aditividade, isto é, para quaisquer u=(u_{1},u_{2},u_{3}) e v=(v_{1},v_{2},v_{3}) em V_{3}(\mathbb{R}) devemos ter
T(u+v)=T\bigl(u_{1}+v_{1},\,u_{2}+v_{2},\,u_{3}+v_{3}\bigr).
Pelo modo como T é definido, isso vale
T(u+v)=\bigl(u_{2}+v_{2},\,u_{3}+v_{3},\,u_{1}+v_{1}\bigr) =\bigl(u_{2},u_{3},u_{1}\bigr)+\bigl(v_{2},v_{3},v_{1}\bigr) =T(u)+T(v).

Passo 3

Verificamos a homogeneidade, isto é, para qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R} e qualquer u=(u_{1},u_{2},u_{3}) em V_{3}(\mathbb{R}) devemos ter
T(\alpha u)=T\bigl(\alpha u_{1},\,\alpha u_{2},\,\alpha u_{3}\bigr) =\bigl(\alpha u_{2},\,\alpha u_{3},\,\alpha u_{1}\bigr) =\alpha\bigl(u_{2},u_{3},u_{1}\bigr) =\alpha\,T(u).

Passo 4

Como T satisfaz tanto T(u+v)=T(u)+T(v) quanto T(\alpha u)=\alpha\,T(u), concluímos que T é linear.

Resposta

T é transformação linear.

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