Mostre que são transformações lineares
T: \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}, T(f)=f(0)

Passo 1

O enunciado define a aplicação
T: \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \to \mathbb{R}
por
T(f)=f(0).
Para mostrar que T é linear, precisamos verificar que, para quaisquer escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} e quaisquer funções f,g\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}), vale
T(\alpha f + \beta g)=\alpha\,T(f)+\beta\,T(g).

Passo 2

Seja \alpha,\beta\in\mathbb{R} e f,g\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}). Então
T(\alpha f + \beta g) =(\alpha f + \beta g)(0) =\alpha\,f(0)+\beta\,g(0) =\alpha\,T(f)+\beta\,T(g).

Passo 3

Como mostramos que T(\alpha f + \beta g)=\alpha\,T(f)+\beta\,T(g) para quaisquer \alpha,\beta,f,g, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

T é uma transformação linear.

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