Seja V o conjunto dos pares ordenados de números reais. Verifique que V não é um espaço vetorial em relação a nenhum dos dois seguintes pares de operações sobre V :
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1, y1) e alpha(x, y)=(alpha x, alpha y).

Passo 1

O enunciado define em V=R^2 a “adição”
(x1,y1) + (x2,y2) = (x1,y1)
e a multiplicação por escalar usual
alpha(x,y) = (alpha x,;alpha y)
Queremos mostrar que, com essas operações, algum dos axiomas de espaço vetorial falha.

Passo 2

Verificamos a existência de elemento neutro para a “adição”. Se existisse e=(e1,e2) com
(x,y)+e = (x,y) e e+(x,y) = (x,y) forall,(x,y),
então pelo primeiro teríamos sempre (x,y)+e=(x,y), o que ocorre para qualquer e. Mas pelo segundo
e+(x,y) = (e1,e2)neq(x,y)
salvo se (e1,e2)=(x,y) para todo (x,y), o que é impossível. Logo não há elemento neutro.

Passo 3

Verificamos a comutatividade da “adição”. Para quaisquer u=(x1,y1) e v=(x2,y2),
u+v = (x1,y1), v+u = (x2,y2)
Em geral (x1,y1)neq(x2,y2), logo u+vneq v+u, ou seja, a adição não é comutativa.

Resposta

V não é um espaço vetorial, pois sua “adição” não possui elemento neutro e falha a comutatividade.

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