Seja
o conjunto dos pares ordenados de números reais. Verifique que
não é um espaço vetorial em relação a nenhum dos dois seguintes pares de operações sobre
:
.
Passo 1
O enunciado define em
a “adição”
e a multiplicação por escalar usual
Queremos mostrar que, com essas operações, algum dos axiomas de espaço vetorial falha.
Passo 2
Verificamos a existência de elemento neutro para a “adição”. Se existisse
com
então pelo primeiro teríamos sempre
, o que ocorre para qualquer
. Mas pelo segundo
salvo se
para todo
, o que é impossível. Logo não há elemento neutro.
Passo 3
Verificamos a comutatividade da “adição”. Para quaisquer
e
,
Em geral
, logo
, ou seja, a adição não é comutativa.
Resposta
V não é um espaço vetorial, pois sua “adição” não possui elemento neutro e falha a comutatividade.