Ache uma equação diferencial cuja solução seja y=c1 x+c2 x^3. Cheque que a família a dois parâmetros dada é, de fato, solução da equação diferencial encontrada.

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial de segunda ordem cujo solução geral seja
y = c1x + c2x^3
Aqui o conteúdo é teoria de equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos construir uma EDO
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0
cujo espaço de soluções seja gerado pelas funções y1(x)=x e y2(x)=x^3.

Passo 2

Determinar o Wronskiano das soluções propostas:
y1(x)=x, y1'(x)=1,
y2(x)=x^3, y2'(x)=3x^2
O Wronskiano é
W(x)= y1 & y2 y1' & y2' = xcdot 3x^2 - x^3cdot 1 = 2x^3

Passo 3

Para uma EDO da forma y''+p(x)y'+q(x)y=0, vale
W(x)=C,e^-integral p(x),dx
Logo
p(x)=-W'(x)W(x)=-6x^22x^3=-3x

Passo 4

Agora usamos que y1(x)=x deve satisfazer a EDO. Como
y1'=1, y1''=0,
temos ao substituir:
0 + p(x)cdot 1 + q(x)cdot x = 0 Longrightarrow -3x + q(x),x = 0 Longrightarrow q(x)=3x^2

Passo 5

Assim a equação diferencial é
y'' - 3x,y' + 3x^2,y = 0
Multiplicando tudo por x^2 para ficar em forma polinomial em x,
x^2y'' - 3x,y' + 3y = 0

Passo 6

Checagem rápida:
Para y=x: y'=1, y''=0, então
x^2cdot 0 -3xcdot1 +3x = 0
Para y=x^3: y'=3x^2, y''=6x, então
x^2cdot6x -3xcdot3x^2 +3x^3 =6x^3 -9x^3 +3x^3 =0
Logo ambas satisfazem.

Resposta

A equação diferencial cuja solução geral é y=c1x+c2x^3 é
x^2y'' - 3x,y' + 3y = 0

Exercícios relacionados