Ache uma equação diferencial cuja solução seja
. Cheque que a família a dois parâmetros dada é, de fato, solução da equação diferencial encontrada.
Passo 1
O enunciado pede uma equação diferencial de segunda ordem cujo solução geral seja
Aqui o conteúdo é teoria de equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos construir uma EDO
cujo espaço de soluções seja gerado pelas funções
e
.
Passo 2
Determinar o Wronskiano das soluções propostas:
O Wronskiano é
Passo 3
Para uma EDO da forma
y''+p(x)y'+q(x)y=0 , vale
Logo
Passo 4
Agora usamos que
y1(x)=x deve satisfazer a EDO. Como
temos ao substituir:
Passo 5
Assim a equação diferencial é
Multiplicando tudo por
x^2 para ficar em forma polinomial em
x ,
Passo 6
Checagem rápida:
Paray=x :
y'=1 ,
y''=0 , então
Para
Para
y=x^3 :
y'=3x^2 ,
y''=6x , então
Logo ambas satisfazem.
Resposta
A equação diferencial cuja solução geral é
y=c1x+c2x^3 é