y=sen(ln x) é uma solução particular da equação x^2 y^prime prime+x y^prime+y=0 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se a função
y = sinl(ln xr)
é solução da equação diferencial
x^2y'' + x,y' + y = 0
Para responder, vamos calcular y' e y'' aplicando a regra da cadeia e depois substituir na equação para ver se obtemos 0.

Passo 2

Calcular y'=dydx. Como y=sin(t) com t=ln x, pela regra da cadeia temos
y' = cos(t),dtdx = cosl(ln xr),1x

Passo 3

Calcular y''=d^2ydx^2. Escrevendo y' = cos(ln x),x^-1, aplicamos a derivada do produto:
y'' = ddxl[cos(ln x)r];x^-1 + cos(ln x);ddxl[x^-1r]
Agora,
ddxl[cos(ln x)r] = -sin(ln x),1x, ddxl[x^-1r] = -1cdot x^-2
Logo,
y'' = -sin(ln x),1x;x^-1 -cos(ln x),x^-2 = -sin(ln x)+cos(ln x)x^2

Passo 4

Substituir y, y' e y'' em x^2y'' + x,y' + y:
x^2y'' = x^2l[-tfracsin(ln x)+cos(ln x)x^2r] = -l[sin(ln x)+cos(ln x)r],
x,y' = xcdotcos(ln x)x = cos(ln x),
y = sin(ln x)
Somando tudo:
x^2y'' + x,y' + y = -l[sin(ln x)+cos(ln x)r] + cos(ln x) + sin(ln x) = 0
Portanto a identidade é satisfeita.

Resposta

Sim. Ao substituir y=sin(ln x) e suas derivadas na equação
x^2y'' + x,y' + y = 0
obtém-se 0=0, logo ;y=sin(ln x) é solução particular.

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