Seja y=c1 e^x+c2 e^-x uma família a dois parâmetros de soluções de y^prime prime-y=0. Determine uma solução para o PVI que consiste na equação diferencial e nas condições:
(a) y(0)=1, y^prime(0)=2
(b) y(-1)=5, y^prime(-1)=-5

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos resolver o PVI da equação diferencial
y''-y=0
cuja solução geral é
y=c1e^x+c2e^-x
Para isso, vamos usar as condições iniciais dadas para determinar c1 e c2.

Passo 2

Derivando a solução geral em relação a x, obtemos
y'=c1e^x-c2e^-x

Passo 3

Caso (a): em x=0 as condições são
y(0)=c1+c2=1,
y'(0)=c1-c2=2
Somando as duas equações vem 2c1=3, logo
c1=tfrac32
Substituindo em c1+c2=1 obtemos
c2=1-tfrac32=-tfrac12
Portanto a solução é
y(x)=tfrac32e^x-tfrac12e^-x

Passo 4

Caso (b): em x=-1 as condições são
y(-1)=c1e^-1+c2e^1=5,
y'(-1)=c1e^-1-c2e^1=-5
Somando dá 2c1e^-1=0, então
c1=0
Da primeira equação fica c2e^1=5, ou seja
c2=5e^-1
Assim a solução é
y(x)=5e^-1e^-x=5e^-(x+1)

Resposta

(a) y(x)=tfrac32e^x-tfrac12e^-x
(b) y(x)=5e^-(x+1)

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