Encontre uma equação diferencial para a família de círculos com raio 1 e centro em qualquer ponto do plano cartesiano.
Passo 1
O enunciado pede a equação diferencial cuja família de soluções são todos os círculos de raio
e centro
arbitrário.
Conteúdo: eliminação de constantes via diferenciação sucessiva. Como há dois parâmetros ( e
), esperamos uma EDO de segunda ordem sem parâmetros.
Conteúdo: eliminação de constantes via diferenciação sucessiva. Como há dois parâmetros (
Passo 2
Escrevemos a família de círculos e diferenciamos uma vez.
Derivando em relação a
:
Passo 3
Derivamos de novo essa relação para introduzir
.
Passo 4
Agora eliminamos
e
. Da primeira derivada temos
Substituindo em
dá
Da segunda derivada:
Substituindo
e eliminando o sinal
via quadrado, obtemos