Encontre uma equação diferencial para a família de círculos com raio 1 e centro em qualquer ponto do plano cartesiano.

Passo 1

O enunciado pede a equação diferencial cuja família de soluções são todos os círculos de raio 1 e centro (a,b) arbitrário.
Conteúdo: eliminação de constantes via diferenciação sucessiva. Como há dois parâmetros ( a e b), esperamos uma EDO de segunda ordem sem parâmetros.

Passo 2

Escrevemos a família de círculos e diferenciamos uma vez.
(x - a)^2 + (y - b)^2 = 1
Derivando em relação a x:
2(x - a) + 2(y - b),y' = 0 Longrightarrow (x - a) + (y - b),y' = 0

Passo 3

Derivamos de novo essa relação para introduzir y''.
ddxl[(x - a) + (y - b),y'r] = 0 ;Longrightarrow; 1 + y'^2 + (y - b),y'' = 0

Passo 4

Agora eliminamos a e b. Da primeira derivada temos
x - a = -,(y - b),y' Longrightarrow (x - a)^2 = (y - b)^2,y'^2
Substituindo em (x - a)^2+(y - b)^2=1
(y - b)^2,(1+y'^2)=1 ;Longrightarrow; y - b = pm1raiz1+y'^2
Da segunda derivada:
(y - b),y'' = -,(1+y'^2)
Substituindo y-b e eliminando o sinal pm via quadrado, obtemos
l(y''r)^2 = (1+y'^2)^3

Resposta

y''^2 = l(1 + (y')^2r)^3

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