Ache a equação da diretriz da parábola representada pela equação y=(x-2)^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a parábola \,y=(x-2)^{2}\, e pede a equação da sua diretriz.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação é \,y=(x-2)^{2}\,.
  • Não há figura nem outros dados numéricos além dessa expressão.

Passo 2

Vamos entender a forma padrão de uma parábola vertical (e o que é a diretriz). Conceitos importantes:
  • Uma parábola com eixo vertical e vértice em (h,k) pode ser escrita na forma
(x-h)^{2}=4p\,(y-k),
onde \,p é o parâmetro focal: é a distância do vértice ao foco e também a distância do vértice até a diretriz (em sentido oposto ao foco).
  • O foco tem coordenadas (h,\,k+p).
  • A diretriz é a reta horizontal
y=k-p.
  • Outra forma comum é \,y=k+a(x-h)^{2}. Se a parábola estiver escrita assim, relacionamos a e p assim:
y-k = a(x-h)^{2}\quad\Longrightarrow\quad (x-h)^{2}=\frac{1}{a}(y-k).
Comparando com (x-h)^{2}=4p(y-k), obtemos
4p=\frac{1}{a}\quad\Rightarrow\quad p=\frac{1}{4a}.
Aqui: explique as variáveis
  • \,h,k são as coordenadas do vértice;
  • \,a é o coeficiente que multiplica (x-h)^{2} quando a parábola está na forma \,y=k+a(x-h)^{2};
  • \,p é a distância vértice–foco (positiva se o foco fica acima do vértice quando a parábola abre para cima).

Passo 3

Aplique ao caso dado \,y=(x-2)^{2}.
  • Escrevendo no molde y=k+a(x-h)^{2}, temos h=2, k=0 e a=1 porque \,y=0+1\cdot(x-2)^{2}.
  • Calcule p usando \,p=\dfrac{1}{4a}:
p=\frac{1}{4\cdot 1}=\frac{1}{4}.
  • O foco é (h,\,k+p)=(2,\,0+\tfrac{1}{4})=(2,\tfrac{1}{4}).
  • A diretriz é a reta horizontal
y=k-p=0-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}.

Passo 4

Verificação rápida (para fixar a ideia): pegue um ponto da parábola, por exemplo (3,1) porque \,1=(3-2)^{2}.
  • Distância do ponto ao foco (2,\tfrac{1}{4}):
\sqrt{(3-2)^{2}+\left(1-\tfrac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{1+\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{25}{16}}=\tfrac{5}{4}.
  • Distância do ponto à diretriz y=-\tfrac{1}{4} (distância vertical):
\bigl|1-(-\tfrac{1}{4})\bigr|=\tfrac{5}{4}.
As duas distâncias coincidem, confirmando que a diretriz está correta.

Resposta

y=-\dfrac{1}{4}

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