Sejam
duas funções diferenciais e
uma função diferenciável. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, dadas duas funções vetoriais diferenciáveis
, vale
Vou usar a definição de derivada pelo limite e a propriedade de que o limite de soma é a soma dos limites.
Passo 2
Começamos escrevendo a derivada da soma pelo limite:
Passo 3
No numerador podemos agrupar termos para separar
e
:
Logo
Passo 4
Agora usamos que o limite de soma é a soma dos limites (e cada limite existe, pois
e
são diferenciáveis):