Sejam f, g: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} duas funções diferenciais e \alpha: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável. Mostre que
\frac{d}{d t}[f(t)+g(t)]=f^{\prime}(t)+g^{\prime}(t).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dadas duas funções vetoriais diferenciáveis \,f,g:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3, vale
\frac{d}{dt}\bigl(f(t)+g(t)\bigr) = f'(t)+g'(t).
Vou usar a definição de derivada pelo limite e a propriedade de que o limite de soma é a soma dos limites.

Passo 2

Começamos escrevendo a derivada da soma pelo limite:
\frac{d}{dt}\bigl(f(t)+g(t)\bigr) = \lim_{h\to0}\frac{\bigl[f(t+h)+g(t+h)\bigr]-\bigl[f(t)+g(t)\bigr]}{h}.

Passo 3

No numerador podemos agrupar termos para separar f e g:
\bigl[f(t+h)+g(t+h)\bigr]-\bigl[f(t)+g(t)\bigr] = \bigl[f(t+h)-f(t)\bigr] \;+\;\bigl[g(t+h)-g(t)\bigr].
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\frac{d}{dt}\bigl(f(t)+g(t)\bigr) = \lim_{h\to0}\Bigl(\frac{f(t+h)-f(t)}{h}+\frac{g(t+h)-g(t)}{h}\Bigr).

Passo 4

Agora usamos que o limite de soma é a soma dos limites (e cada limite existe, pois f e g são diferenciáveis):
\lim_{h\to0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h} +\lim_{h\to0}\frac{g(t+h)-g(t)}{h} = f'(t)+g'(t).

Resposta

\frac{d}{dt}\bigl(f(t)+g(t)\bigr)=f'(t)+g'(t).

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