Sejam f, g: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} duas funções diferenciais e \alpha: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável. Mostre que
\frac{d}{d t}\langle f(t), g(t)\rangle=\left\langle f^{\prime}(t), g(t)\right\rangle+\left\langle f(t), g^{\prime}(t)\right\rangle.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a regra do produto para o produto interno em \mathbb{R}^3: dadas duas funções diferenciáveis f,g\colon I\to\mathbb{R}^3, queremos provar que
\frac{d}{dt}\langle f(t),g(t)\rangle =\langle f'(t),g(t)\rangle+\langle f(t),g'(t)\rangle.
Para isso vamos usar que o produto interno é a soma de produtos de coordenadas e aplicar a regra do produto e a linearidade da derivada.

Passo 2

Escrevemos f e g pelas suas componentes:
f(t)=(f_1(t),f_2(t),f_3(t)),\qquad g(t)=(g_1(t),g_2(t),g_3(t)).
Então o produto interno é
\langle f(t),g(t)\rangle =f_1(t)g_1(t)+f_2(t)g_2(t)+f_3(t)g_3(t).

Passo 3

Como a derivada é linear, temos
\frac{d}{dt}\langle f(t),g(t)\rangle =\sum_{i=1}^3\frac{d}{dt}\bigl(f_i(t)g_i(t)\bigr).
E pela regra do produto para funções reais u(t)=f_i(t) e v(t)=g_i(t), vale
\frac{d}{dt}(f_i(t)g_i(t)) =f_i'(t)\,g_i(t)+f_i(t)\,g_i'(t).

Passo 4

Somando sobre i=1,2,3 obtemos
\frac{d}{dt}\langle f(t),g(t)\rangle =\sum_{i=1}^3\bigl(f_i'(t)g_i(t)+f_i(t)g_i'(t)\bigr) =\sum_{i=1}^3f_i'(t)g_i(t)+\sum_{i=1}^3f_i(t)g_i'(t).
Mas as somas são justamente os produtos internos \langle f'(t),g(t)\rangle e \langle f(t),g'(t)\rangle.

Resposta

\frac{d}{dt}\langle f(t),g(t)\rangle =\langle f'(t),g(t)\rangle+\langle f(t),g'(t)\rangle.

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