Sejam
duas funções diferenciais e
uma função diferenciável. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos a regra do produto para o produto interno em
: dadas duas funções diferenciáveis
, queremos provar que
Para isso vamos usar que o produto interno é a soma de produtos de coordenadas e aplicar a regra do produto e a linearidade da derivada.
Passo 2
Escrevemos
e
pelas suas componentes:
Então o produto interno é
Passo 3
Como a derivada é linear, temos
E pela regra do produto para funções reais
e
, vale
Passo 4
Somando sobre
obtemos
Mas as somas são justamente os produtos internos
e
.