Ache a equação geral do plano que contém a reta e é paralelo à reta .
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano, chamado , que contém uma reta específica e é paralelo a outra reta . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, usando vetores e equações de retas e planos. Para resolver isso, vamos precisar identificar os vetores diretores das retas e usar o produto vetorial para encontrar uma normal ao plano . Com essa normal e um ponto conhecido no plano, podemos montar a equação geral do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas que temos:
A reta está definida por:
Podemos reescrever isso em termos de parâmetro , onde :
Isso nos dá o vetor diretor de r: vr = 1 12 1 .
A reta s está definida por:
x + 12 = y = z + 31
Podemos também parametrizar essa reta usando um parâmetro k:
x = -1 + 2k y = k z = -3 + k
O vetor diretor de s é: vs = 2 1 1 .
Passo 3
Agora, já que o plano Pi contém a reta r e é paralelo à reta s, o vetor diretor de r (vr) e o vetor diretor de s (vs) estarão ambos no plano Pi. Para encontrar a normal ao plano, precisamos calcular o produto vetorial entre vr e vs.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial n = vr times vs:
Podemos simplificar multiplicando todos os componentes por 2 para facilitar:
n = -1 2 0
Passo 5
Com a normal n = -1 2 0 e um ponto qualquer da reta r que está no plano, por exemplo, quando t = 0, temos o ponto P(1, 1, 0). Agora, usamos a fórmula da equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são os componentes da normal n e (x0, y0, z0) é o ponto P.