Ache a equação geral do plano Pi que contém a reta r:cx=1+z y=1+z / 2 e é paralelo à reta s: x+12=y=z+31.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano, chamado Pi, que contém uma reta específica r e é paralelo a outra reta s. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, usando vetores e equações de retas e planos. Para resolver isso, vamos precisar identificar os vetores diretores das retas e usar o produto vetorial para encontrar uma normal ao plano Pi. Com essa normal e um ponto conhecido no plano, podemos montar a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas que temos:
A reta r está definida por:
x = 1 + z y = 1 + z2
Podemos reescrever isso em termos de parâmetro t, onde t = z:
x = 1 + t y = 1 + t2 z = t
Isso nos dá o vetor diretor de r: vr = 1 12 1 .
A reta s está definida por:
x + 12 = y = z + 31
Podemos também parametrizar essa reta usando um parâmetro k:
x = -1 + 2k y = k z = -3 + k
O vetor diretor de s é: vs = 2 1 1 .

Passo 3

Agora, já que o plano Pi contém a reta r e é paralelo à reta s, o vetor diretor de r ( vr) e o vetor diretor de s ( vs) estarão ambos no plano Pi. Para encontrar a normal ao plano, precisamos calcular o produto vetorial entre vr e vs.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial n = vr times vs:
n = i & j & k 1 & 12 & 1 2 & 1 & 1 = i(12 cdot 1 - 1 cdot 1) - j(1 cdot 1 - 2 cdot 1) + k(1 cdot 1 - 2 cdot 12)
n = i(-12) - j(-1) + k(1 - 1) = -12 1 0
Podemos simplificar multiplicando todos os componentes por 2 para facilitar:
n = -1 2 0

Passo 5

Com a normal n = -1 2 0 e um ponto qualquer da reta r que está no plano, por exemplo, quando t = 0, temos o ponto P(1, 1, 0). Agora, usamos a fórmula da equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são os componentes da normal n e (x0, y0, z0) é o ponto P.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
-1(x - 1) + 2(y - 1) + 0(z - 0) = 0
Simplificando:
-1 cdot x + 1 + 2y - 2 + 0 = 0
- x + 2y - 1 = 0
Ou, rearranjando:
x - 2y + 1 = 0

Resposta

A equação geral do plano Pi é:
x - 2y + 1 = 0

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