Encontre a projeção do vetor w na direção do vetor v nos seguintes casos:
(iii) w=(1,3,5) e v=(-3,1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos encontrar a projeção do vetor w = (1, 3, 5) na direção do vetor v = (-3, 1, 0). Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e normas de vetores. Esses são fundamentais para calcular projeções no espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre w e v. O produto escalar de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso aos nossos vetores:
w cdot v = (1)(-3) + (3)(1) + (5)(0) = -3 + 3 + 0 = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma (ou comprimento) do vetor v. A norma de um vetor v = (v1, v2, v3) é calculada por:
||v|| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
Aplicando isso ao vetor v:
||v|| = raiz(-3)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz9 + 1 + 0 = raiz10

Passo 4

Com o produto escalar e a norma de v calculados, podemos usar a fórmula da projeção de w na direção de v:
projv,w = ( w cdot v||v||^2 ) v
Substituindo os valores que encontramos:
projv,w = ( 010 ) v = 0 cdot v = (0, 0, 0)

Resposta

A projeção de w na direção de v é (0,, 0,, 0).

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