Ache a equação geral do plano perpendicular ao plano Pi: x1+y2+z-1=1 e que contém o eixo OY.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a equação geral de um plano que seja perpendicular ao plano Pi: x1+y2+z-1=1 e que passe pelo eixo OY. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre planos no espaço, vetores normais e como eles se relacionam quando planos são perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do plano Pi de forma mais familiar. A equação x1+y2+z-1=1 pode ser multiplicada por 2 para facilitar:
2x + y - 2z = 2
Aqui, os coeficientes de x, y e z (ou seja, 2, 1 e -2) representam os componentes do vetor normal do plano Pi. Vamos chamar esse vetor de nPi = (2, 1, -2).

Passo 3

Agora, queremos encontrar um plano que seja perpendicular a Pi. Dois planos são perpendiculares se os seus vetores normais forem perpendiculares. Ou seja, o vetor normal do novo plano deve ser perpendicular a nPi.
Para dois vetores serem perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser zero. Vamos chamar o vetor normal do novo plano de n = (a, b, c). Então, temos:
n cdot nPi = 0 (2, 1, -2) cdot (a, b, c) = 0 2a + b - 2c = 0

Passo 4

Além disso, o plano que estamos procurando deve conter o eixo OY. O eixo OY é a linha onde x = 0 e z = 0. Isso significa que todos os pontos do eixo OY têm a forma (0, y, 0).
Como o plano contém o eixo OY, qualquer ponto desse eixo deve satisfazer a equação do plano. Vamos usar isso para encontrar uma relação entre a, b e c.
Substituindo (0, y, 0) na equação geral do plano ax + by + cz + d = 0, temos:
a(0) + b(y) + c(0) + d = 0 by + d = 0
Isso deve ser válido para qualquer valor de y, o que só é possível se b = 0 e d = 0.

Passo 5

Agora que sabemos que b = 0 e d = 0, podemos voltar à equação que relaciona a, b e c:
2a + b - 2c = 0 2a + 0 - 2c = 0 2a - 2c = 0 a = c
Então, o vetor normal do novo plano é n = (a, 0, a).

Passo 6

Agora podemos escrever a equação geral do plano usando o vetor normal n = (a, 0, a) e sabendo que d = 0:
ax + 0 cdot y + az + 0 = 0 ax + az = 0 a(x + z) = 0
Como a não pode ser zero (senão não teríamos um plano definido), podemos dividir ambos os lados da equação por a:
x + z = 0

Resposta

A equação geral do plano procurado é:
x + z = 0

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