Ache a equação geral do plano perpendicular ao plano
e que contém o eixo OY.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a equação geral de um plano que seja perpendicular ao plano
e que passe pelo eixo OY. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre planos no espaço, vetores normais e como eles se relacionam quando planos são perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do plano
de forma mais familiar. A equação
pode ser multiplicada por 2 para facilitar:
Aqui, os coeficientes de
,
e
(ou seja, 2, 1 e -2) representam os componentes do vetor normal do plano
. Vamos chamar esse vetor de
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar um plano que seja perpendicular a
. Dois planos são perpendiculares se os seus vetores normais forem perpendiculares. Ou seja, o vetor normal do novo plano deve ser perpendicular a
.
Para dois vetores serem perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser zero. Vamos chamar o vetor normal do novo plano de
. Então, temos:
Passo 4
Além disso, o plano que estamos procurando deve conter o eixo OY. O eixo OY é a linha onde
e
. Isso significa que todos os pontos do eixo OY têm a forma
.
Como o plano contém o eixo OY, qualquer ponto desse eixo deve satisfazer a equação do plano. Vamos usar isso para encontrar uma relação entre
,
e
.
Substituindo
na equação geral do plano
, temos:
Isso deve ser válido para qualquer valor de
, o que só é possível se
e
.
Passo 5
Agora que sabemos que
e
, podemos voltar à equação que relaciona
,
e
:
Então, o vetor normal do novo plano é
.
Passo 6
Agora podemos escrever a equação geral do plano usando o vetor normal
e sabendo que
:
Como
não pode ser zero (senão não teríamos um plano definido), podemos dividir ambos os lados da equação por
:
Resposta
A equação geral do plano procurado é: