Ache as equações da reta que passa pelo ponto , que é perpendicular ao vetor e que corta a reta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações da reta que passa pelo ponto , é perpendicular ao vetor e que corta a reta . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, envolvendo vetores e equações de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a reta que queremos encontrar deve ser perpendicular ao vetor . Isso significa que o vetor diretor da nossa reta será paralelo a . Portanto, o vetor diretor da reta que buscamos é .
Passo 3
Agora, sabemos que a reta que passa pelo ponto e tem vetor diretor pode ser representada pela equação paramétrica:
Onde é o parâmetro.
Passo 4
Em seguida, precisamos garantir que essa reta corta a reta x = 1 + 3k y = -1 + 2k z = 3 - 5k . Para isso, vamos encontrar o ponto de interseção entre as duas retas resolvendo o sistema de equações.
Primeiro, escrevemos as equações paramétricas da reta :
Onde é o parâmetro.
Passo 5
Igualamos as coordenadas das duas retas para encontrar os valores de -1 + 6t = 1 + 3k 2 - t = -1 + 2k 3 - 3t = 3 - 5k e que satisfazem o ponto de interseção:
Passo 6
Resolvendo o sistema, começamos pela segunda equação:
Com os valores de x = 1 + 3(1615) = 1 + 4815 = 6315 = 215 y = -1 + 2(1615) = -1 + 3215 = 1715 z = 3 - 5(1615) = 3 - 8015 = -3515 = -73 e , encontramos o ponto de interseção substituindo em uma das equações das retas. Usando a reta :
Portanto, o ponto de interseção é .
Resposta
A equação da reta que satisfaz todas as condições é dada por: