Ache as equações da reta que passa pelo ponto M(-1,2,3), que é perpendicular ao vetor a=(6,-1,-3) e que corta a reta s: x-13=y+12=z-3-5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações da reta que passa pelo ponto , é perpendicular ao vetor e que corta a reta . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, envolvendo vetores e equações de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a reta que queremos encontrar deve ser perpendicular ao vetor . Isso significa que o vetor diretor da nossa reta será paralelo a . Portanto, o vetor diretor da reta que buscamos é .

Passo 3

Agora, sabemos que a reta que passa pelo ponto x = -1 + 6t y = 2 - t z = 3 - 3t e tem vetor diretor pode ser representada pela equação paramétrica:
Onde é o parâmetro.

Passo 4

Em seguida, precisamos garantir que essa reta corta a reta x = 1 + 3k y = -1 + 2k z = 3 - 5k . Para isso, vamos encontrar o ponto de interseção entre as duas retas resolvendo o sistema de equações.
Primeiro, escrevemos as equações paramétricas da reta :
Onde é o parâmetro.

Passo 5

Igualamos as coordenadas das duas retas para encontrar os valores de -1 + 6t = 1 + 3k 2 - t = -1 + 2k 3 - 3t = 3 - 5k e que satisfazem o ponto de interseção:

Passo 6

Resolvendo o sistema, começamos pela segunda equação:
2 - t = -1 + 2k Rightarrow t = 3 - 2k
Substituímos -1 + 6(3 - 2k) = 1 + 3k -1 + 18 - 12k = 1 + 3k 17 - 12k = 1 + 3k 16 = 15k Rightarrow k = 1615 na primeira equação:
t = 3 - 2(1615) = 3 - 3215 = 1315
Agora, substituímos na expressão de :

Passo 7

Com os valores de x = 1 + 3(1615) = 1 + 4815 = 6315 = 215 y = -1 + 2(1615) = -1 + 3215 = 1715 z = 3 - 5(1615) = 3 - 8015 = -3515 = -73 e , encontramos o ponto de interseção substituindo em uma das equações das retas. Usando a reta :
Portanto, o ponto de interseção é .

Resposta

A equação da reta que satisfaz todas as condições é dada por:
x + 16 = y - 2-1 = z - 3-3

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