Ache as equaçòes da reta s que passa pelo ponto de interseção das retas r l: x-42=y+5-6=z-63 e r 2:cy=7-3 x z=x é perpendicular ao plano 2 x-z=10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações da reta que passa pelo ponto de interseção das retas e , e que é perpendicular ao plano . Para isso, vamos precisar entender como encontrar o ponto de interseção de duas retas no espaço e como determinar uma reta perpendicular a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto onde as retas x-42 = y+5-6 = z-63 e x = 4 + 2t, y = -5 - 6t, z = 6 + 3t se intersectam. A reta y = 7 - 3x, z = x está na forma simétrica:
x = 6 + 3t
Podemos escrever isso em forma paramétrica usando um parâmetro -5 - 6t = 7 - 3(6 + 3t) :
-5 - 6t = 7 - 18 - 9t -5 - 6t = -11 - 9t 3t = -6 t = -2
Já a reta x = 4 + 2(-2) = 0, y = -5 - 6(-2) = 7, z = 6 + 3(-2) = 0 é dada pelas equações:
Para encontrar o ponto de interseção, igualamos as coordenadas de e . A partir de e , temos:
Substituindo na equação de de :
Resolvendo:
Substituindo nas equações paramétricas de :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a direção da reta n = (2, 0, -1) que é perpendicular ao plano . A reta perpendicular a um plano tem direção paralela ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano é dado pelos coeficientes de e na equação do plano:
Portanto, a direção da reta é .

Passo 4

Com o ponto de passagem x = 0 + 2k = 2k y = 7 + 0k = 7 z = 0 - k = -k e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta :
Onde é o parâmetro.

Resposta

As equações da reta x = 2k y = 7 z = -k são:
Onde é um número real.

Exercícios relacionados