Sejam P(1,1,2) e a reta r:lx=1-t y=2-3 t z=4+t. Determine as equações da reta que passa por P, e ́ perpendicular à reta r e é paralela ao plano 2 x-y+z+5=0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto x = 1 - t y = 2 - 3t z = 4 + t e uma reta definida pelas equações paramétricas:
Queremos encontrar as equações de uma nova reta que:
  1. Passa pelo ponto .
  2. É perpendicular à reta .
  3. É paralela ao plano .
Para resolver, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica, como direção de retas, perpendicularidade entre retas e paralelismo com planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta vr = -1 -3 1 . Nas equações paramétricas, os coeficientes de dão o vetor diretor. Então, para :

Passo 3

Queremos que a nova reta seja perpendicular à reta a b c . Duas retas são perpendiculares se os vetores diretores delas forem perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles é zero. Se chamarmos o vetor diretor da nova reta de v cdot vr = 0 Rightarrow (-1)a + (-3)b + 1c = 0 Rightarrow -a - 3b + c = 0 , então:
Essa é a primeira equação que nossa direção precisa satisfazer.

Passo 4

Além disso, a nova reta deve ser paralela ao plano n = 2 -1 1 . Para uma reta ser paralela a um plano, seu vetor diretor deve ser perpendicular ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano é dado pelos coeficientes de v cdot n = 0 Rightarrow 2a - b + c = 0 :
Então, o produto escalar entre e deve ser zero:
Agora temos a segunda equação para .

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
-a - 3b + c = 0 2a - b + c = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar uma relação entre (2a - b + c) - (-a - 3b + c) = 0 Rightarrow 3a + 2b = 0 Rightarrow 3a = -2b Rightarrow a = -23b e a = -23 times 3 = -2 . Subtraindo a primeira equação da segunda:
-(-2) - 3(3) + c = 0 Rightarrow 2 - 9 + c = 0 Rightarrow c = 7
Vamos escolher v = -2 3 7 para simplificar (qualquer valor diferente de zero serve). Então:
Substituindo e na primeira equação:
Portanto, o vetor diretor da nova reta é:

Passo 6

Agora que temos o vetor diretor -2 3 7 e o ponto x = 1 - 2t y = 1 + 3t z = 2 + 7t por onde a reta passa, podemos escrever as equações paramétricas da reta desejada:
Onde é o parâmetro.

Resposta

As equações da reta são:
x = 1 - 2t y = 1 + 3t z = 2 + 7t

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