Ache uma equação geral do plano
que contém
e é perpendicular a
.
Passo 1
O enunciado pede a equação geral do plano π que contém a reta r e é perpendicular à reta s. Aqui o conteúdo que vamos usar é:
– Para que um plano seja perpendicular a uma reta s, basta que ele contenha uma reta t que seja ortogonal a s.
– Como o plano também deve conter r, basta achar, em um ponto de r, uma reta perpendicular a s e então montar o plano pelos dois geradores (a direção de r e essa reta perpendicular a s).
– Para que um plano seja perpendicular a uma reta s, basta que ele contenha uma reta t que seja ortogonal a s.
– Como o plano também deve conter r, basta achar, em um ponto de r, uma reta perpendicular a s e então montar o plano pelos dois geradores (a direção de r e essa reta perpendicular a s).
Passo 2
Escolhemos um ponto A qualquer de r. Tomemos A = (1,1,0), que corresponde a λ=0 em r:
Agora vamos projetar A orthogonalmente sobre a reta s para achar o pé da perpendicular F.
Em s temos ponto base B = (1,0,0) e vetor diretor v_s = (1,1,0).
O parâmetro t_0 do pé F vem de:
Em s temos ponto base B = (1,0,0) e vetor diretor v_s = (1,1,0).
O parâmetro t_0 do pé F vem de:
Então
Passo 3
A reta AF está em π e é perpendicular a s. Seu vetor diretor é
que podemos simplificar para (1,−1,0).
O vetor diretor de r é v_r = (2,1,1).
Para achar a normal n de π, fazemos o produto vetorial:
O vetor diretor de r é v_r = (2,1,1).
Para achar a normal n de π, fazemos o produto vetorial:
Passo 4
Finalmente a equação geral do plano π, usando n e o ponto A é
ou seja
Portanto
e, em forma geral:
Resposta
x + y - 3z - 2 = 0