Ache uma equação geral do plano pi que contém r: X=(1,1,0)+lambda(2,1,1) e é perpendicular a s: X=(1,0,0)+lambda(1,1,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano π que contém a reta r e é perpendicular à reta s. Aqui o conteúdo que vamos usar é:
– Para que um plano seja perpendicular a uma reta s, basta que ele contenha uma reta t que seja ortogonal a s.
– Como o plano também deve conter r, basta achar, em um ponto de r, uma reta perpendicular a s e então montar o plano pelos dois geradores (a direção de r e essa reta perpendicular a s).

Passo 2

Escolhemos um ponto A qualquer de r. Tomemos A = (1,1,0), que corresponde a λ=0 em r:
A = (1,1,0)
Agora vamos projetar A orthogonalmente sobre a reta s para achar o pé da perpendicular F.
Em s temos ponto base B = (1,0,0) e vetor diretor v_s = (1,1,0).
O parâmetro t_0 do pé F vem de:
t0 = vs cdot (A - B)vs cdot vs = (1,1,0)cdot(1-1,,1-0,,0-0)1^2+1^2+0^2 = 0+1+02 = tfrac12
Então
F = B + t0,vs = (1,0,0) + tfrac12(1,1,0) = (tfrac32,,tfrac12,0)

Passo 3

A reta AF está em π e é perpendicular a s. Seu vetor diretor é
vAF = F - A = l(tfrac32-1,,tfrac12-1,,0-0r) = (tfrac12,-tfrac12,0),
que podemos simplificar para (1,−1,0).
O vetor diretor de r é v_r = (2,1,1).
Para achar a normal n de π, fazemos o produto vetorial:
n = vr times vAF = (2,1,1) times (1,-1,0) = (1,1,-3)

Passo 4

Finalmente a equação geral do plano π, usando n e o ponto A é
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0
ou seja
(1,1,-3)cdot(x-1,,y-1,,z-0)=0
Portanto
x - 1 + y - 1 -3z = 0
e, em forma geral:
x + y -3z -2 = 0

Resposta

x + y - 3z - 2 = 0

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