Determine as matrizes MmathscrB1, mathscrB2 e MmathscrB2, mathscrB1 onde mathscrB2= e mathscrP3(R) 2-x+x^3 são bases de mathscrB1. Encontre as coordenadas do vetor em relação à base .

Passo 1

O enunciado pede para determinar as matrizes de mudança de base de mathscrB1 para mathscrB2 e de mathscrB2 para mathscrB1 em mathscrP3(R), sendo mathscrB1=1,,1+x,,1+x+x^2,,1+x+x^2+x^3 e mathscrB2=1,,x,,x^2,,x^3, e depois encontrar as coordenadas de 2 - x + x^3 em relação a mathscrB1.

Passo 2

Para montar MmathscrB1,mathscrB2, basta expressar cada vetor de mathscrB1 na base padrão mathscrB2. Como
1=1cdot1+0,x+0,x^2+0,x^3,
1+x=1cdot1+1,x+0,x^2+0,x^3,
1+x+x^2=1cdot1+1,x+1,x^2+0,x^3,
1+x+x^2+x^3=1cdot1+1,x+1,x^2+1,x^3,
a matriz fica:
MmathscrB1,mathscrB2= 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1

Passo 3

Para montar MmathscrB2,mathscrB1, expressamos cada monômio padrão em função de mathscrB1. Resolvendo o sistema para
1,x,x^2,x^3
obtém-se respectivamente os vetores de coordenadas
(1,0,0,0),
(-1,1,0,0),
(0,-1,1,0) e
(0,0,-1,1).
Assim
MmathscrB2,mathscrB1= 1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 1

Passo 4

Para encontrar as coordenadas de 2 - x + x^3 em mathscrB1, primeiro escrevemos seu vetor em mathscrB2:
(2,-1,0,1). Em seguida multiplicamos por MmathscrB2,mathscrB1:
1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 1 2-101 =3-1-11
Esses são os coeficientes na base mathscrB1.

Resposta

(M_{\mathscr{B}_1,\mathscr{B}2}= 1 & 1 & 1 & 10 & 1 & 1 & 10 & 0 & 1 & 10 & 0 & 0 & 1,\quad M{\mathscr{B}_2,\mathscr{B}1}= 1 & -1 & 0 & 00 & 1 & -1 & 00 & 0 & 1 & -10 & 0 & 0 & 1,\quad [2 - x + x^3]{\mathscr{B}_1}=(3,-1,-1,1).

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