Qual o único vetor que possui as mesmas coordenadas em relação à qualquer base?
Passo 1
O enunciado pede para identificar o único vetor que tem as mesmas coordenadas em relação a qualquer base de um espaço vetorial. Esse conteúdo é da área de Álgebra Linear, envolvendo representação de vetores em diferentes bases e transformação de coordenadas.
Passo 2
Lembrando que, se temos uma base B e outra base B’, as coordenadas de um mesmo vetor v estão relacionadas por
onde P é a matriz de mudança de base de B para B’. Isso surge porque as colunas de P são as coordenadas dos vetores de B’ expressos na base B.
Passo 3
Para que v tenha as mesmas coordenadas em qualquer base, precisamos que
para toda matriz invertível P. Isso implica
e, portanto,
Passo 4
Como B e B’ são arbitrárias, P pode ser qualquer matriz invertível. A única forma de garantir que
para qualquer P é ter
, ou seja, o vetor nulo.
Resposta
O único vetor que possui as mesmas coordenadas em relação a qualquer base é o vetor nulo.