Qual o único vetor que possui as mesmas coordenadas em relação à qualquer base?

Passo 1

O enunciado pede para identificar o único vetor que tem as mesmas coordenadas em relação a qualquer base de um espaço vetorial. Esse conteúdo é da área de Álgebra Linear, envolvendo representação de vetores em diferentes bases e transformação de coordenadas.

Passo 2

Lembrando que, se temos uma base B e outra base B’, as coordenadas de um mesmo vetor v estão relacionadas por
vB' = P^-1 vB
onde P é a matriz de mudança de base de B para B’. Isso surge porque as colunas de P são as coordenadas dos vetores de B’ expressos na base B.

Passo 3

Para que v tenha as mesmas coordenadas em qualquer base, precisamos que
vB' = vB
para toda matriz invertível P. Isso implica
P^-1 vB = vB
e, portanto,
(P^-1 - I) vB = 0 .

Passo 4

Como B e B’ são arbitrárias, P pode ser qualquer matriz invertível. A única forma de garantir que (P^-1 - I)vB = 0 para qualquer P é ter vB = 0, ou seja, o vetor nulo.

Resposta

O único vetor que possui as mesmas coordenadas em relação a qualquer base é o vetor nulo.

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