Verifique se as transformações abaixo são lineares:

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação T:R^2toR definida por T(x1,x2)=x1 é linear. O conteúdo envolvido é transformações lineares; vamos usar a definição de linearidade, ou seja, aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Recordando que T é linear se, para quaisquer u,vinR^2 e alphainR, valem as propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(alpha u)=alpha,T(u)

Passo 3

Para verificar aditividade, dados x=(x1,x2) e y=(y1,y2), calculamos:
T(x+y)=T((x1+y1,;x2+y2))=x1+y1=T(x)+T(y)

Passo 4

Para verificar homogeneidade, dado x=(x1,x2) e escalar alpha, temos:
T(alpha x)=T((alpha x1,;alpha x2))=alpha x1=alpha,T(x)

Passo 5

Como as duas propriedades (aditividade e homogeneidade) são satisfeitas, concluímos que T é linear.

Resposta

A transformação T(x1,x2)=x1 é linear.

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