Mostre que MmathscrB1, mathscrB3=MmathscrB1, mathscrB2 cdot MmathscrB2, mathscrB3 para quaisquer bases mathscrB1, mathscrB2, mathscrB3 de R^n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um vetor qualquer v em R^n, a mudança de coordenadas direta da base mathscrB3 para mathscrB1 equivale a aplicar primeiro a mudança de mathscrB3 para mathscrB2 e depois de mathscrB2 para mathscrB1. O conteúdo aqui é matriz de mudança de base, e vamos precisar da definição que relaciona coordenadas de um mesmo vetor em bases diferentes.

Passo 2

Definimos a matriz de mudança de base MmathscrB1,mathscrB2 como aquela que converte coordenadas de v em mathscrB2 para coordenadas em mathscrB1. Ou seja, para todo v, temos
[v]mathscrB1=MmathscrB1,mathscrB2,[v]mathscrB2
De maneira análoga,
[v]mathscrB2=MmathscrB2,mathscrB3,[v]mathscrB3

Passo 3

Substituindo a segunda relação na primeira, obtemos
[v]mathscrB1=MmathscrB1,mathscrB2,l(MmathscrB2,mathscrB3,[v]mathscrB3r) =l(MmathscrB1,mathscrB2,MmathscrB2,mathscrB3r)[v]mathscrB3
Isso mostra que a mudança direta de mathscrB3 para mathscrB1 é feita multiplicando [v]mathscrB3 por MmathscrB1,mathscrB2MmathscrB2,mathscrB3.

Passo 4

Como a definição de matriz de mudança de base é única (ou seja, para cada par de bases existe uma só matriz que faz essa transformação de coordenadas), concluímos que
MmathscrB1,mathscrB3=MmathscrB1,mathscrB2,MmathscrB2,mathscrB3

Resposta

MmathscrB1,mathscrB3 = MmathscrB1,mathscrB2 cdot MmathscrB2,mathscrB3.

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