Mostre que
para quaisquer bases
de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um vetor qualquer
em
, a mudança de coordenadas direta da base
para
equivale a aplicar primeiro a mudança de
para
e depois de
para
. O conteúdo aqui é matriz de mudança de base, e vamos precisar da definição que relaciona coordenadas de um mesmo vetor em bases diferentes.
Passo 2
Definimos a matriz de mudança de base
como aquela que converte coordenadas de
em
para coordenadas em
. Ou seja, para todo
, temos
De maneira análoga,
Passo 3
Substituindo a segunda relação na primeira, obtemos
Isso mostra que a mudança direta de
para
é feita multiplicando
por
.
Passo 4
Como a definição de matriz de mudança de base é única (ou seja, para cada par de bases existe uma só matriz que faz essa transformação de coordenadas), concluímos que