Ache a equação geral do plano perpendicular aos planos e que dista 3 unidades do ponto .
Passo 1
Beleza, vamos começar! O enunciado pede para encontrar a equação geral de um plano que cumpre duas condições:
Perpendicular aos planos e .
Está a 3 unidades de distância do ponto .
Para resolver isso, vamos precisar entender vetores normais, produto vetorial e a fórmula da distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a vetor normal de cada plano dado. A equação geral de um plano é , onde é o vetor normal.
Para , o vetor normal é .
Para , o vetor normal é .
Passo 3
Como o plano é perpendicular a ambos os planos e , seu vetor normal deve ser perpendicular a e . Para encontrar um vetor perpendicular a dois vetores, usamos o produto vetorial.
Calculando :
n = i(0 + 2) - j(-2 + 1) + k(2 - 0) = (2, 1, 2)
Então, o vetor normal do plano Pi é n = (2, 1, 2).
Passo 4
Agora, sabemos que a equação geral do plano Pi pode ser escrita como:
2x + y + 2z + D = 0
Precisamos encontrar o valor de D. Para isso, vamos usar a condição de que a distância do ponto A(1, 2, 0) ao plano Pi é 3 unidades. A fórmula da distância d de um ponto (x0, y0, z0) a um plano Ax + By + Cz + D = 0 é: