Ache a equação geral do plano Pi perpendicular aos planos Pi1: x-z+6=0 e Pi2: x+2 y-2 z-1=0 e que dista 3 unidades do ponto A(1,2,0).

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado pede para encontrar a equação geral de um plano Pi que cumpre duas condições:
  1. Perpendicular aos planos Pi1: x - z + 6 = 0 e Pi2: x + 2y - 2z - 1 = 0.
  2. Está a 3 unidades de distância do ponto A(1, 2, 0).
Para resolver isso, vamos precisar entender vetores normais, produto vetorial e a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a vetor normal de cada plano dado. A equação geral de um plano é Ax + By + Cz + D = 0, onde (A, B, C) é o vetor normal.
  • Para Pi1: x - z + 6 = 0, o vetor normal é n1 = (1, 0, -1).
  • Para Pi2: x + 2y - 2z - 1 = 0, o vetor normal é n2 = (1, 2, -2).

Passo 3

Como o plano Pi é perpendicular a ambos os planos Pi1 e Pi2, seu vetor normal n deve ser perpendicular a n1 e n2. Para encontrar um vetor perpendicular a dois vetores, usamos o produto vetorial.
Calculando n = n1 times n2:
n = i & j & k 1 & 0 & -1 1 & 2 & -2 = i(0 cdot (-2) - (-1) cdot 2) - j(1 cdot (-2) - (-1) cdot 1) + k(1 cdot 2 - 0 cdot 1)
n = i(0 + 2) - j(-2 + 1) + k(2 - 0) = (2, 1, 2)
Então, o vetor normal do plano Pi é n = (2, 1, 2).

Passo 4

Agora, sabemos que a equação geral do plano Pi pode ser escrita como:
2x + y + 2z + D = 0
Precisamos encontrar o valor de D. Para isso, vamos usar a condição de que a distância do ponto A(1, 2, 0) ao plano Pi é 3 unidades. A fórmula da distância d de um ponto (x0, y0, z0) a um plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
3 = |2(1) + 1(2) + 2(0) + D|raiz2^2 + 1^2 + 2^2 Rightarrow 3 = |2 + 2 + 0 + D|raiz4 + 1 + 4 Rightarrow 3 = |4 + D|3
Multiplicando ambos os lados por 3:
|4 + D| = 9
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. 4 + D = 9 Rightarrow D = 5
  2. 4 + D = -9 Rightarrow D = -13

Passo 6

Portanto, temos duas equações possíveis para o plano Pi:
  1. 2x + y + 2z + 5 = 0
  2. 2x + y + 2z - 13 = 0

Resposta

As equações gerais do plano Pi são:
2x + y + 2z + 5 = 0 e 2x + y + 2z - 13 = 0

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