Ache os pontos da reta r: x2=y=z que distam 2 raiz3 do plano Pi: x+y+z-2=0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma reta r definida por x2=y=z e um plano Pi dado por x + y + z - 2 = 0. Queremos encontrar os pontos na reta r que estão a uma distância de 2raiz3 unidades desse plano Pi. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância de um ponto a um plano e a representação paramétrica da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a reta r de uma forma mais fácil de trabalhar. A equação x2=y=z pode ser parametrizada usando um parâmetro t. Assim, podemos escrever:
x = 2t, y = t, z = t
Aqui, t é um número real que varia, e cada valor de t nos dá um ponto na reta r.

Passo 3

Agora, vamos relembrar a fórmula para a distância D de um ponto (x, y, z) até um plano da forma Ax + By + Cz + D = 0. A fórmula é:
D = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2
No nosso caso, o plano Pi é x + y + z - 2 = 0, então A=1, B=1, C=1 e D=-2.

Passo 4

Vamos agora substituir as coordenadas do ponto na reta r na fórmula da distância. O ponto na reta é (2t, t, t). Substituindo na fórmula:
D = |1 cdot 2t + 1 cdot t + 1 cdot t - 2|raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = |2t + t + t - 2|raiz3 = |4t - 2|raiz3
Queremos que essa distância seja igual a 2raiz3, então:
|4t - 2|raiz3 = 2raiz3

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de t. Multiplicando ambos os lados por raiz3:
|4t - 2| = 2raiz3 cdot raiz3 = 2 cdot 3 = 6
Isso nos dá duas possibilidades:
4t - 2 = 6 ou 4t - 2 = -6

Passo 6

Resolvendo as duas equações:
  1. Para 4t - 2 = 6:
4t = 8 implies t = 2
  1. Para 4t - 2 = -6:
4t = -4 implies t = -1

Passo 7

Agora que temos os valores de t, vamos encontrar os pontos correspondentes na reta r:
  1. Para t = 2:
x = 2 cdot 2 = 4, y = 2, z = 2
Portanto, o ponto é (4, 2, 2).
  1. Para t = -1:
x = 2 cdot (-1) = -2, y = -1, z = -1
Portanto, o ponto é (-2, -1, -1).

Resposta

Os pontos da reta r que distam 2raiz3 do plano Pi são (4, 2, 2) e (-2, -1, -1).

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