Ache a equaçào do plano que passa por P(2,-1,2) e é paralelo às retas r:lx=t y=2-t z=7+t s:lx=1+t y=5-t z=6+2 t.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e é paralelo às retas e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e vetores diretores de retas.

Passo 2

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal a ele. Como o plano é paralelo às retas e , o vetor normal deve ser perpendicular aos vetores diretores dessas retas. Vamos primeiro encontrar os vetores diretores das retas.

Passo 3

Vamos identificar os vetores diretores das retas r: x = t y = 2 - t z = 7 + t e s: x = 1 + t y = 5 - t z = 6 + 2t :
  • Para a reta :
    O vetor diretor é .
  • Para a reta :
    O vetor diretor é .

Passo 4

Agora, para encontrar o vetor normal n = vr times vs = i & j & k 1 & -1 & 1 1 & -1 & 2 do plano, calculamos o produto vetorial entre e :

Passo 5

Calculando o determinante:
n = i((-1)(2) - (1)(-1)) - j((1)(2) - (1)(1)) + k((1)(-1) - (1)(-1))
Simplificando:
n = i(-2 + 1) - j(2 - 1) + k(-1 + 1)
n = i(-1) - j(1) + k(0)
n = (-1, -1, 0)

Passo 6

Agora que temos o vetor normal n cdot (X - P) = 0 e o ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Onde .

Passo 7

Substituindo os valores:
(-1)(x - 2) + (-1)(y + 1) + 0(z - 2) = 0
- (x - 2) - (y + 1) = 0
- x + 2 - y - 1 = 0
- x - y + 1 = 0

Resposta

A equação do plano é:
- x - y + 1 = 0

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