Sejam A e B matrizes quadradas da mesma ordem e, k um número real arbitrário. Verifique que
© Se A e B são antisimétricas, então A + B também é antisimétrica.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é o seguinte: temos duas matrizes quadradas, e , que são antissimétricas, ou seja, elas têm uma propriedade especial quando a gente tira a transposta delas. A gente quer provar que a soma dessas duas matrizes, , também vai ser antissimétrica. Para fazer isso, vamos usar o conceito de matriz antissimétrica e as propriedades das operações com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser antissimétrica. Uma matriz M^T = -M é antissimétrica se, quando a gente tira a transposta dela, a gente obtém . Em outras palavras:
Isso quer dizer que, para cada elemento da matriz, o elemento na posição transposta é o negativo do elemento original.

Passo 3

Agora, vamos considerar a soma das matrizes (A + B)^T e (A + B)^T = A^T + B^T , ou seja, . A gente quer saber se essa soma também é antissimétrica. Para isso, vamos tirar a transposta de e ver o que acontece:
Sabemos que a transposta de uma soma de matrizes é igual à soma das transpostas. Então:

Passo 4

Como A^T = -A e B^T = -B e (A + B)^T = -A + (-B) = -A - B = -(A + B) são antissimétricas, sabemos que:
Substituindo esses valores na expressão anterior, temos:
Isso mostra que a transposta da soma é igual a , que é exatamente a condição para ser antissimétrica.

Resposta

Portanto, se e são matrizes antissimétricas, então a soma também é antissimétrica.

Exercícios relacionados