Sejam
e
matrizes quadradas da mesma ordem e,
um número real arbitrário. Verifique que
© Se A e B são antisimétricas, então A + B também é antisimétrica.
© Se A e B são antisimétricas, então A + B também é antisimétrica.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é o seguinte: temos duas matrizes quadradas,
e
, que são antissimétricas, ou seja, elas têm uma propriedade especial quando a gente tira a transposta delas. A gente quer provar que a soma dessas duas matrizes,
, também vai ser antissimétrica. Para fazer isso, vamos usar o conceito de matriz antissimétrica e as propriedades das operações com matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser antissimétrica. Uma matriz
é antissimétrica se, quando a gente tira a transposta dela, a gente obtém
. Em outras palavras:
Isso quer dizer que, para cada elemento da matriz, o elemento na posição transposta é o negativo do elemento original.
Passo 3
Agora, vamos considerar a soma das matrizes
e
, ou seja,
. A gente quer saber se essa soma também é antissimétrica. Para isso, vamos tirar a transposta de
e ver o que acontece:
Sabemos que a transposta de uma soma de matrizes é igual à soma das transpostas. Então:
Passo 4
Como
e
são antissimétricas, sabemos que:
Substituindo esses valores na expressão anterior, temos:
Isso mostra que a transposta da soma
é igual a
, que é exatamente a condição para
ser antissimétrica.
Resposta
Portanto, se
e
são matrizes antissimétricas, então a soma
também é antissimétrica.