Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre o operador linear definido por uma matriz específica. Precisamos descobrir se é sobrejetiva e se é injetiva. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinante e propriedades de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser injetiva e sobrejetiva:
Injetiva: Cada elemento do espaço de chegada () é imagem de, no máximo, um elemento do espaço de partida (). Em termos de matrizes, isso acontece se a matriz tem posto completo, ou seja, se o determinante dela é diferente de zero.
Sobrejetiva: Cada elemento do espaço de chegada é imagem de pelo menos um elemento do espaço de partida. Para espaços de mesma dimensão, se a matriz é injetiva, ela também é sobrejetiva, e vice-versa.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz que define 1 & 0 & 1 1 & -1 & 1 0 & 0 & -1 para verificar se ela é invertível (o que garante que det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é tanto injetiva quanto sobrejetiva).
A matriz de det(A) = 1 times [(-1) times (-1) - 1 times 0] - 0 times [1 times (-1) - 1 times 0] + 1 times [1 times 0 - (-1) times 0] é:
det(A) = 1 times (1 - 0) - 0 times (-1 - 0) + 1 times (0 - 0) = 1 - 0 + 0 = 1
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
Aplicando isso na nossa matriz:
Simplificando:
Passo 4
Como o determinante da matriz é 1, que é diferente de zero (), concluímos que a matriz é invertível. Isso significa que o operador linear é injetivo. E, como estamos lidando com espaços de mesma dimensão ( para ), também é sobrejetiva.
Resposta
Sim, o operador linear é tanto sobrejetivo quanto injetivo.