Seja o operador linear T: R^3 R^3 definido pela matriz:
[ccc 1 & 0 & 1 1 & -1 & 1 0 & 0 & -1 ]
a) T é sobrejetiva? T é injetiva?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre o operador linear definido por uma matriz específica. Precisamos descobrir se é sobrejetiva e se é injetiva. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinante e propriedades de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser injetiva e sobrejetiva:
  • Injetiva: Cada elemento do espaço de chegada ( ) é imagem de, no máximo, um elemento do espaço de partida ( ). Em termos de matrizes, isso acontece se a matriz tem posto completo, ou seja, se o determinante dela é diferente de zero.
  • Sobrejetiva: Cada elemento do espaço de chegada é imagem de pelo menos um elemento do espaço de partida. Para espaços de mesma dimensão, se a matriz é injetiva, ela também é sobrejetiva, e vice-versa.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz que define 1 & 0 & 1 1 & -1 & 1 0 & 0 & -1 para verificar se ela é invertível (o que garante que det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é tanto injetiva quanto sobrejetiva).
A matriz de det(A) = 1 times [(-1) times (-1) - 1 times 0] - 0 times [1 times (-1) - 1 times 0] + 1 times [1 times 0 - (-1) times 0] é:
det(A) = 1 times (1 - 0) - 0 times (-1 - 0) + 1 times (0 - 0) = 1 - 0 + 0 = 1
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
Aplicando isso na nossa matriz:
Simplificando:

Passo 4

Como o determinante da matriz é 1, que é diferente de zero ( ), concluímos que a matriz é invertível. Isso significa que o operador linear é injetivo. E, como estamos lidando com espaços de mesma dimensão ( para ), também é sobrejetiva.

Resposta

Sim, o operador linear é tanto sobrejetivo quanto injetivo.

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