Ache uma equação geral do plano tangente a
no ponto
, nos casos:
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície
definida pela equação
e um ponto específico
sobre essa superfície. O objetivo é encontrar a equação geral do plano tangente a
no ponto
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies quadráticas e planos tangentes.
Passo 2
Vamos começar simplificando a equação da superfície
. A equação dada é:
Essa é a equação geral de uma esfera. Para encontrar o centro e o raio da esfera, completamos o quadrado para as variáveis
e
.
Passo 3
Completando o quadrado para
:
E para
:
Substituindo de volta na equação da esfera:
Simplificando:
Então, o centro da esfera
é
e o raio
é
.
Passo 4
Para encontrar o plano tangente à esfera no ponto
, precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Esse vetor normal é o mesmo que o vetor que liga o centro da esfera
ao ponto
.
Calculando o vetor normal
:
Passo 5
Com o vetor normal
e sabendo que o ponto
pertence ao plano tangente, podemos usar a equação do plano na forma ponto-normal:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Resposta
A equação geral do plano tangente a
no ponto
é: