Ache uma equação geral do plano tangente a 
  no ponto 
 , nos casos:
  e 
 
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície 
  definida pela equação 
  e um ponto específico 
  sobre essa superfície. O objetivo é encontrar a equação geral do plano tangente a 
  no ponto 
 . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies quadráticas e planos tangentes.
Passo 2
Vamos começar simplificando a equação da superfície 
 . A equação dada é:
Essa é a equação geral de uma esfera. Para encontrar o centro e o raio da esfera, completamos o quadrado para as variáveis 
  e 
 .
Passo 3
Completando o quadrado para 
 :
E para 
 :
Substituindo de volta na equação da esfera:
Simplificando:
Então, o centro da esfera 
  é 
  e o raio 
  é 
 .
Passo 4
Para encontrar o plano tangente à esfera no ponto 
 , precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Esse vetor normal é o mesmo que o vetor que liga o centro da esfera 
  ao ponto 
 .
Calculando o vetor normal 
 :
Passo 5
Com o vetor normal 
  e sabendo que o ponto 
  pertence ao plano tangente, podemos usar a equação do plano na forma ponto-normal:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Resposta
A equação geral do plano tangente a 
  no ponto 
  é: