Ache uma equação geral do plano tangente a S no ponto T, nos casos:
S: x^2+y^2+z^2-2 x-4 z-6=0 e T=(2,1,5)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície definida pela equação e um ponto específico sobre essa superfície. O objetivo é encontrar a equação geral do plano tangente a no ponto . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies quadráticas e planos tangentes.

Passo 2

Vamos começar simplificando a equação da superfície x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4z - 6 = 0 . A equação dada é:
Essa é a equação geral de uma esfera. Para encontrar o centro e o raio da esfera, completamos o quadrado para as variáveis e .

Passo 3

Completando o quadrado para x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 :
z^2 - 4z = (z - 2)^2 - 4
E para (x - 1)^2 - 1 + y^2 + (z - 2)^2 - 4 - 6 = 0 :
(x - 1)^2 + y^2 + (z - 2)^2 - 11 = 0
Substituindo de volta na equação da esfera:
(x - 1)^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 11
Simplificando:
Então, o centro da esfera é e o raio é .

Passo 4

Para encontrar o plano tangente à esfera no ponto n = T - C = (2 - 1, 1 - 0, 5 - 2) = (1, 1, 3) , precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Esse vetor normal é o mesmo que o vetor que liga o centro da esfera ao ponto .
Calculando o vetor normal :

Passo 5

Com o vetor normal 1(x - 2) + 1(y - 1) + 3(z - 5) = 0 e sabendo que o ponto x - 2 + y - 1 + 3z - 15 = 0 pertence ao plano tangente, podemos usar a equação do plano na forma ponto-normal:
x + y + 3z - 18 = 0
Expandindo os termos:
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano tangente a x + y + 3z - 18 = 0 no ponto é:

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